Mostrar que os seguintes limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x^3 y2 x^6+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite da função x^3 y2 x^6+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) não existe. Isso está ligado ao estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa função ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos testar o caminho onde x = 0. Substituindo x por 0 na função:
0^3 y2 cdot 0^6 + y^2 = 00 + y^2 = 0
Então, ao longo do caminho x = 0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos testar o caminho onde y = x^{3}. Substituindo y por x^3 na função:
x^3 cdot x^32 x^6 + (x^3)^2 = x^62 x^6 + x^6 = x^63 x^6 = 13
Então, ao longo do caminho y = x³, o limite é 13.

Passo 4

Como obtivemos dois resultados diferentes ao seguir caminhos distintos (0 e 13), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (0,0) x^3 y2 x^6+y^2 não existe.

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