Mostre que a equação abaixo é exata e encontre a solução do PVI abaixo.
(e^x * y + 2 * x) dx + (2 * y + e^x) dy = 0, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa mostrar que a equação diferencial dada é exata e resolver o problema de valor inicial (PVI). A equação que estamos vendo é:
Para resolver isso, a gente vai usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Basicamente, uma equação diferencial é exata quando conseguimos encontrar uma função potencial que simplifica tudo. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa conferir se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como vemos, . Isso significa que a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende somente de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar diferenciando em relação a e igualando à :
Isso nos dá:
Integrando novamente em relação a :
Onde é uma constante de integração. Podemos desprezar já que ela será absorvida na constante geral.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a função potencial fica:
Para encontrar a solução da equação diferencial, igualamos a a uma constante. Usando a condição inicial :

Resposta

A solução do problema é dada por:

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