Mostre que a equação abaixo é exata e encontre a solução do PVI abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa mostrar que a equação diferencial dada é exata e resolver o problema de valor inicial (PVI). A equação que estamos vendo é:
Para resolver isso, a gente vai usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Basicamente, uma equação diferencial é exata quando conseguimos encontrar uma função potencial que simplifica tudo. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa conferir se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como vemos,
. Isso significa que a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
diferenciando
em relação a
e igualando à
:
Isso nos dá:
Integrando novamente em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Podemos desprezar
já que ela será absorvida na constante geral.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função potencial fica:
Para encontrar a solução da equação diferencial, igualamos a
a uma constante. Usando a condição inicial
:
Resposta
A solução do problema é dada por: