Considere a e.d.o. linear não-homogênea
(a) Determine a solução da equação homogênea associada, sabendo que sua equação característica é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução da equação homogênea associada a uma equação diferencial de ordem 6. A matéria aqui é sobre equações diferenciais lineares e características de equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica e usar essas raízes para montar a solução geral da equação homogênea.
Passo 2
Primeiro, a gente tem a equação diferencial homogênea:
A equação característica associada a essa EDO é dada por:
Passo 3
Vamos fatorar a equação característica para achar as raízes. Observamos que podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, igualando cada fator a zero para encontrar as raízes:
-
⟹ com multiplicidade 4. -
⟹ com multiplicidade 2.
Passo 5
Com as raízes em mãos, montamos a solução geral da equação homogênea. Cada raiz real
com multiplicidade
contribui com termos da forma
, onde
varia de 0 a
.
Passo 6
Aplicando isso às nossas raízes:
-
Para
com multiplicidade 4: -
-
Para
com multiplicidade 2: -
Resposta
A solução geral da equação homogênea é: