Considere a e.d.o. linear não-homogênea
y^(6) + 4y^(5) + 4y^(4) = 1 + 2t - t^2 + te^(-2t)
(a) Determine a solução da equação homogênea associada, sabendo que sua equação característica é
r^6 + 4 r^5 + 4 r^4 = r^4 (r + 2)^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução da equação homogênea associada a uma equação diferencial de ordem 6. A matéria aqui é sobre equações diferenciais lineares e características de equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica e usar essas raízes para montar a solução geral da equação homogênea.

Passo 2

Primeiro, a gente tem a equação diferencial homogênea:
A equação característica associada a essa EDO é dada por:

Passo 3

Vamos fatorar a equação característica para achar as raízes. Observamos que podemos fatorar :

Passo 4

Agora, igualando cada fator a zero para encontrar as raízes:
  1. com multiplicidade 4.
  2. com multiplicidade 2.

Passo 5

Com as raízes em mãos, montamos a solução geral da equação homogênea. Cada raiz real com multiplicidade contribui com termos da forma , onde varia de 0 a .

Passo 6

Aplicando isso às nossas raízes:
  • Para com multiplicidade 4:
  • Para com multiplicidade 2:

Resposta

A solução geral da equação homogênea é:

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