Considere uma barra de metal com 50 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20 graus Celsius, supondo que alpha = 1 e que suas extremidades são mantidas a temperatura de 30 graus C e -20 °C respectivamente.
Encontre a temperatura u(x, t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma barra de metal de 50 cm de comprimento que, no começo, está toda igual a 20°C. As pontas da barra estão mantidas a 30°C e -20°C, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura na barra, que vamos chamar de , muda ao longo do tempo e do comprimento da barra. Para resolver isso, vamos usar a equação do calor, que descreve como o calor se propaga numa barra ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do calor. Ela é dada por:
Aqui, é a difusividade térmica da barra. No nosso caso, . Essa equação diz que a taxa de variação da temperatura no tempo é proporcional à segunda derivada da temperatura em relação ao espaço, ou seja, como a temperatura está mudando ao longo do comprimento da barra.

Passo 3

Como as extremidades da barra estão mantidas a temperaturas fixas (30°C e -20°C), precisamos lidar com condições de contorno não homogêneas. Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável para transformar essas condições em homogêneas. Vamos definir uma nova função de temperatura tal que:
Onde é a solução estacionária (temperatura que não muda com o tempo). Queremos que satisfaça as condições de contorno:

Passo 4

Vamos supor que varia linearmente ao longo da barra. Então, podemos expressar:
Usando as condições de contorno:
Então:
Agora, a função satisfaz condições de contorno homogêneas:

Passo 5

Substituindo na equação do calor, temos:
Com , a equação simplifica para:
Agora, precisamos resolver essa equação com as condições iniciais e de contorno homogêneas.

Passo 6

A solução geral para pode ser expressa como uma série de Fourier:
Onde cm e são os coeficientes que determinamos a partir da condição inicial. A condição inicial para é:
Para encontrar , utilizamos a fórmula dos coeficientes de Fourier:
Calculando essa integral, obtemos os valores de .

Resposta

Finalmente, a temperatura na barra é dada por:
Essa expressão descreve como a temperatura varia ao longo do comprimento da barra e do tempo.

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