Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir: alpha(t) = (t sen(t), t^2, t cos(2 t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial de curvas. A gente precisa encontrar os vetores tangentes para a curva definida por . Para isso, vamos usar a derivada das funções vetoriais, que nos dá exatamente o vetor tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada componente da curva em relação a t. A curva tem três componentes:

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente, . Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é u(t) * v(t). Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente, . Essa é uma derivada mais simples:

Passo 5

Por último, vamos derivar a terceira componente, . Novamente, usamos a regra do produto:
Sabendo que a derivada de é , temos:

Resposta

Então, juntando todas as derivadas que encontramos, o vetor tangente à curva é:

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