Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial de curvas. A gente precisa encontrar os vetores tangentes para a curva definida por . Para isso, vamos usar a derivada das funções vetoriais, que nos dá exatamente o vetor tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada componente da curva em relação a
. A curva tem três componentes:
Passo 3
Vamos começar derivando a primeira componente, . Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda componente,
. Essa é uma derivada mais simples:
Passo 5
Por último, vamos derivar a terceira componente,
. Novamente, usamos a regra do produto:
Sabendo que a derivada de
é , temos:
Resposta
Então, juntando todas as derivadas que encontramos, o vetor tangente à curva é: