Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir: beta(t) = (1, -1, e^(4t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os vetores tangentes da curva definida por . Isso envolve o estudo de curvas paramétricas e como encontrar seus vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função vetorial em relação ao parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor tangente. Imagine que a curva é como um caminho no espaço, e o vetor tangente aponta na direção em que você está andando nesse caminho naquele instante. Matemáticamente, o vetor tangente é dado pela derivada da função vetorial que descreve a curva.

Passo 3

Nossa função vetorial é . Para encontrar o vetor tangente, precisamos derivar cada componente dessa função em relação a . Vamos fazer isso passo a passo:
  • A derivada de em relação a é , porque é uma constante.
  • A derivada de em relação a também é , pelo mesmo motivo.
  • A derivada de em relação a é , usando a regra da cadeia (a derivada de é ).

Passo 4

Agora, juntando as derivadas que calculamos, o vetor tangente é:
Isso significa que, para qualquer valor de , o vetor tangente à curva no ponto correspondente é .

Resposta

Os vetores tangentes para a curva são dados por .

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