Determine os vetores tangentes para as curvas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os vetores tangentes da curva definida por
. Isso envolve o estudo de curvas paramétricas e como encontrar seus vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função vetorial em relação ao parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor tangente. Imagine que a curva é como um caminho no espaço, e o vetor tangente aponta na direção em que você está andando nesse caminho naquele instante. Matemáticamente, o vetor tangente é dado pela derivada da função vetorial que descreve a curva.
Passo 3
Nossa função vetorial é
. Para encontrar o vetor tangente, precisamos derivar cada componente dessa função em relação a
. Vamos fazer isso passo a passo:
- A derivada de
em relação a é , porque é uma constante. - A derivada de
em relação a também é , pelo mesmo motivo. - A derivada de
em relação a é , usando a regra da cadeia (a derivada de é ).
Passo 4
Agora, juntando as derivadas que calculamos, o vetor tangente
é:
Isso significa que, para qualquer valor de
, o vetor tangente à curva no ponto correspondente é
.
Resposta
Os vetores tangentes para a curva
são dados por
.