Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
f(x) = e^(-|x|), -1 < x < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier para a função no intervalo e depois esboçar o gráfico da função com a série em três períodos. A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, porque isso determina se a série terá apenas cossenos (para funções pares) ou apenas senos (para funções ímpares). A função é par, já que . Então, nossa série de Fourier terá apenas termos de cosseno.

Passo 3

A série de Fourier para uma função par no intervalo a (nesse caso, ) é dada por:
Como , a fórmula fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes e . Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Vamos calcular :
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular . A integral pode ser resolvida usando integração por partes ou utilizando uma fórmula padrão. O resultado é:
Avaliando de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, substituímos e na série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier para a função no intervalo é:

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