Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier para a função
no intervalo
e depois esboçar o gráfico da função com a série em três períodos. A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, porque isso determina se a série terá apenas cossenos (para funções pares) ou apenas senos (para funções ímpares). A função
é par, já que
. Então, nossa série de Fourier terá apenas termos de cosseno.
Passo 3
A série de Fourier para uma função par no intervalo
a
(nesse caso,
) é dada por:
Como
, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
e
. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Vamos calcular
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular
. A integral
pode ser resolvida usando integração por partes ou utilizando uma fórmula padrão. O resultado é:
Avaliando de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier para a função
no intervalo
é: