Encontre a solução problema de condução do calor
l ut=100 ux x 00 u(x, 0)=sen(2 pi x)-sen(5 pi x), 0 <= x <= 1 u(0, t)=0, t>0 u(1, t)=0, t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor que você me mandou! A gente tem uma equação que descreve como o calor se espalha ao longo de uma barra de comprimento 1, com temperaturas fixas nas pontas (zero grau). A matéria envolvida aqui é a equação diferencial parcial para a condução de calor, e pra resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e entender um pouco sobre séries trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que estamos lidando:
ut = 100 , uxx
Aqui, representa a temperatura na posição e no tempo . Essa é a equação da condução de calor, onde é a derivada da temperatura em relação ao tempo, e é a segunda derivada em relação à posição.

Passo 3

A gente tem as condições de contorno e a condição inicial:
  • Condições de contorno:
    u(0, t) = 0 e u(1, t) = 0
    Isso significa que as pontas da barra estão mantidas na temperatura 0 para todo o tempo.
  • Condição inicial:
    u(x, 0) = sin(2pi x) - sin(5pi x)
    Essa é a temperatura inicial da barra.

Passo 4

Vamos usar o método de separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de u(x, t) = X(x) cdot T(t) e outra que depende só de X(x) cdot T'(t) = 100 cdot X''(x) cdot T(t) :
T'(t)100 , T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo isso na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.

Passo 5

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para T'(t) + 100 lambda , T(t) = 0 :
    T(t) = e^-100 lambda t
    A solução dessa equação é:
    X''(x) + lambda , X(x) = 0
  2. Para :
    Com as condições de contorno e .

Passo 6

Resolvendo para Xn(x) = sin(npi x) , as soluções são funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno. As soluções são:
lambdan = (npi)^2
Onde é um número inteiro positivo, e os correspondentes valores de são:

Passo 7

Então, a solução geral da equação é uma soma infinita dessas soluções separadas:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn , e^-100 (npi)^2 t sin(npi x)
Onde são os coeficientes que determinamos a partir da condição inicial.

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar os coeficientes u(x, 0) = sin(2pi x) - sin(5pi x) = sumn=1^infty Bn sin(npi x) :
Comparando os termos, vemos que:
  • (para )
  • (para )
  • Todos os outros

Resposta

Assim, a solução do problema de condução de calor é:
u(x, t) = e^-100 (2pi)^2 t sin(2pi x) - e^-100 (5pi)^2 t sin(5pi x)

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