Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor que você me mandou! A gente tem uma equação que descreve como o calor se espalha ao longo de uma barra de comprimento 1, com temperaturas fixas nas pontas (zero grau). A matéria envolvida aqui é a equação diferencial parcial para a condução de calor, e pra resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e entender um pouco sobre séries trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que estamos lidando:
ut = 100 , uxx
Aqui, representa a temperatura na posição e no tempo . Essa é a equação da condução de calor, onde é a derivada da temperatura em relação ao tempo, e é a segunda derivada em relação à posição.
Passo 3
A gente tem as condições de contorno e a condição inicial:
Condições de contorno:
u(0, t) = 0 e u(1, t) = 0
Isso significa que as pontas da barra estão mantidas na temperatura 0 para todo o tempo.
Condição inicial:
u(x, 0) = sin(2pi x) - sin(5pi x)
Essa é a temperatura inicial da barra.
Passo 4
Vamos usar o método de separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de u(x, t) = X(x) cdot T(t) e outra que depende só de X(x) cdot T'(t) = 100 cdot X''(x) cdot T(t) :
T'(t)100 , T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo isso na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para T'(t) + 100 lambda , T(t) = 0 :
T(t) = e^-100 lambda t
A solução dessa equação é:
X''(x) + lambda , X(x) = 0
Para :
Com as condições de contorno e .
Passo 6
Resolvendo para Xn(x) = sin(npi x) , as soluções são funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno. As soluções são:
lambdan = (npi)^2
Onde é um número inteiro positivo, e os correspondentes valores de são:
Passo 7
Então, a solução geral da equação é uma soma infinita dessas soluções separadas: