Seja
a solução de:
Mostre que
E(t)=integral0^1(ut^2(x, t)+ux^2(x, t)) d x é constante
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda
com condições de contorno
u(0,t)=u(1,t)=0 e condições iniciais
u(x,0)=sumn=1^infty knsin(npi x) ,
ut(x,0)=0 . Queremos mostrar que a energia
é constante em
t .
Passo 2
Calculamos a derivada de
E(t) . Usando regra de derivação sob o sinal de integral, temos
Passo 3
Tratamos o segundo termo por integração por partes em
x :
Como
u(0,t)=u(1,t)=0 para todo
t , segue que
ut(0,t)=ut(1,t)=0 e, portanto, o termo de contorno
l[ux,utr]0^1 anula-se. Logo
Substituindo em
E'(t) obtemos
Passo 4
Pela equação da onda
utt-uxx=0 , concluímos que o integrando é zero em todo o intervalo e, portanto,
Isto implica que
E(t) é constante em
t .