Seja u(x, t) a solução de:
l ux x=ut t, 0<x<1, -infty<t<+infty u(0, t)=u(1, t)=0, 0 <= t u(x, 0)=sum1^infty kn sen(n pi x), 0 <= x <= 1 ut(x, 0)=0, 0 <= x <= 1
Mostre que E(t)=integral0^1(ut^2(x, t)+ux^2(x, t)) d x é constante

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda
uxx=utt, 0<x<1,;;-infty<t<+infty
com condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=sumn=1^infty knsin(npi x), ut(x,0)=0. Queremos mostrar que a energia
E(t)=integral0^1l(ut^2(x,t)+ux^2(x,t)r),dx
é constante em t.

Passo 2

Calculamos a derivada de E(t). Usando regra de derivação sob o sinal de integral, temos
E'(t) =integral0^12l(ut,utt+ux,uxtr),dx

Passo 3

Tratamos o segundo termo por integração por partes em x:
integral0^1ux,uxt,dx =l[ux,utr]0^1-integral0^1uxx,ut,dx
Como u(0,t)=u(1,t)=0 para todo t, segue que ut(0,t)=ut(1,t)=0 e, portanto, o termo de contorno l[ux,utr]0^1 anula-se. Logo
integral0^1ux,uxt,dx=-integral0^1uxx,ut,dx
Substituindo em E'(t) obtemos
E'(t) =2integral0^1l(ut,utt-uxx,utr),dx =2integral0^1utl(utt-uxxr),dx

Passo 4

Pela equação da onda utt-uxx=0, concluímos que o integrando é zero em todo o intervalo e, portanto,
E'(t)=0
Isto implica que E(t) é constante em t.

Resposta

E(t) é constante.

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