Considere uma barra metálica de comprimento 1 que está térmicamente isolada tanto nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra, alpha^2=1, e, que a distribuição inicial de temperaturas na barra é dada por u(x, 0)=x, 0<x<1, determine:
a) A distribuição de temperaturas na barra, u(x, t) em um instante t>0 qualquer.
b) Qual é a temperatura de equilíbrio da barra?

Passo 1

O enunciado define a equação do calor
ut = uxx,
para 0<x<1 com condições de contorno isolantes partialx u(0,t)=partialx u(1,t)=0 e condição inicial u(x,0)=x. Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em autofunções de Neumann.

Passo 2

Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em ut=uxx obtemos
T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
As condições X'(0)=X'(1)=0 levam aos autovalores
lambdan=(npi)^2, n=0,1,2,dots
e às autofunções
X0(x)=1, Xn(x)=cos(npi x)(n>=1)

Passo 3

A solução geral satisfaz
u(x,t)=A0+sumn=1^inftyAncos(npi x),e^-n^2pi^2t

Passo 4

Impondo a condição inicial u(x,0)=x obtemos
x = A0 + sumn=1^infty Ancos(npi x)
Usando ortogonalidade das cossenos,
A0=integral0^1 x,dx, An=2integral0^1 xcos(npi x),dx(n>=1)

Passo 5

Calculamos
integral0^1 xcos(npi x),dx =[xsin(npi x)npi+cos(npi x)n^2pi^2]0^1 =(-1)^n-1n^2pi^2,
portanto
A0=12, An=2l((-1)^n-1r)n^2pi^2

Passo 6

Substituindo os coeficientes na série,
u(x,t) =12+sumn=1^infty2l((-1)^n-1r)n^2pi^2 cos(npi x),e^-n^2pi^2t
Como (-1)^n-1=0 para n par, só restam os termos ímpares, e podemos escrever
u(x,t) =12-4pi^2sumk=0^infty cosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2, e^-(2k+1)^2pi^2t
A temperatura de equilíbrio (quando ttoinfty) é justamente o termo constante
tfrac12.

Resposta

a) u(x,t) =12+sumn=1^infty2l((-1)^n-1r)n^2pi^2 cos(npi x),e^-n^2pi^2t =12-4pi^2sumk=0^infty cosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2, e^-(2k+1)^2pi^2t
b) Temperatura de equilíbrio: 12.

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