Considere uma barra metálica de comprimento 1 que está térmicamente isolada tanto nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra,
, e, que a distribuição inicial de temperaturas na barra é dada por
, determine:
a) A distribuição de temperaturas na barra,
um instante
qualquer.
b) Qual é a temperatura de equilíbrio da barra?
a) A distribuição de temperaturas na barra,
b) Qual é a temperatura de equilíbrio da barra?
Passo 1
O enunciado define a equação do calor
para
com condições de contorno isolantes
e condição inicial
. Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em autofunções de Neumann.
Passo 2
Procuramos solução da forma
. Substituindo em
obtemos
As condições
levam aos autovalores
e às autofunções
Passo 3
A solução geral satisfaz
Passo 4
Impondo a condição inicial
obtemos
Usando ortogonalidade das cossenos,
Passo 5
Calculamos
portanto
Passo 6
Substituindo os coeficientes na série,
Como
para
par, só restam os termos ímpares, e podemos escrever
A temperatura de equilíbrio (quando
) é justamente o termo constante
.
Resposta
a)
b) Temperatura de equilíbrio:
.