Seja u(x, t) a solução de:
l ux x=ut t, 0<x<1, -infty<t<+infty u(0, t)=u(1, t)=0, 0 <= t u(x, 0)=sum1^infty kn sen(n pi x), 0 <= x <= 1 ut(x, 0)=0, 0 <= x <= 1
a) Mostre que E(t)=integral0^1(ut^2(x, t)+ux^2(x, t)) d x é constante
b) Use a identidade de Parseval para concluir que E(t) equiv pi^22 sum1^infty n^2 kn^2

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda unidimensional
uxx=utt, 0<x<1,;t>=0
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas u(0,t)=u(1,t)=0 e condições iniciais
u(x,0)=sumn=1^infty knsin(npi x), ut(x,0)=0
Define-se a energia
E(t)=integral0^1l(ut^2(x,t)+ux^2(x,t)r),dx
Vamos mostrar que E'(t)=0 (conservação da energia) e, em seguida, calcular o valor constante de E(t) usando Parseval.

Passo 2

Calculemos a derivada de E(t):
dEdt =integral0^1 2l(ut,utt+ux,uxtr),dx
Como utt=uxx, o integrando fica
ut,uxx+ux,uxt =partialpartial xl(ux,utr)
Logo
dEdt =2integral0^1partialpartial x(ux,ut),dx =2l[ux(x,t),ut(x,t)r]x=0^x=1

Passo 3

Pelas condições de contorno temos u(0,t)=u(1,t)=0 para todo t,
o que implica ut(0,t)=ut(1,t)=0. Portanto
dEdt =2l[ux,utr]0^1 =0,
isto é, E(t) é constante.

Passo 4

A solução que satisfaz as condições iniciais é dada pela expansão em senos:
u(x,t) =sumn=1^infty kncos(npi t),sin(npi x)

Passo 5

Dessa forma
ut(x,t) =-sumn=1^infty kn,npisin(npi t),sin(npi x), ux(x,t) =sumn=1^infty kn,npicos(npi t),cos(npi x)
Usando a identidade de Parseval para séries de senos e cossenos em [0,1], temos
integral0^1sin^2(npi x),dx =integral0^1cos^2(npi x),dx =tfrac12

Passo 6

Substituindo em E(t):
E(t) =integral0^1 ut^2,dx+integral0^1 ux^2,dx =sumn=1^infty (kn,npi)^22l(sin^2(npi t)+cos^2(npi t)r) =pi^22sumn=1^infty n^2kn^2

Resposta

E(t) é constante e vale
E(t)equiv pi^22sumn=1^infty n^2kn^2

Exercícios relacionados