a) Mostre que E(t)=integral0^1(ut^2(x, t)+ux^2(x, t)) d x é constante
b) Use a identidade de Parseval para concluir que E(t) equiv pi^22 sum1^infty n^2 kn^2
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda unidimensional
uxx=utt, 0<x<1,;t>=0
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas u(0,t)=u(1,t)=0 e condições iniciais
u(x,0)=sumn=1^infty knsin(npi x), ut(x,0)=0
Define-se a energia
E(t)=integral0^1l(ut^2(x,t)+ux^2(x,t)r),dx
Vamos mostrar que E'(t)=0 (conservação da energia) e, em seguida, calcular o valor constante de E(t) usando Parseval.