lim x 2 x-raiz3 x-2x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 2 x-raiz3 x-2x^2-4. Esse exercício envolve o conteúdo de limites e álgebra, especialmente lidando com expressões que resultam em formas indeterminadas como 00. Vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2 - raiz3 times 2 - 22^2 - 4 = 2 - raiz6 - 24 - 4 = 2 - 20 = 00
Viu só? Obtemos 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão de outra maneira para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que resultam em 00 é racionalizar o numerador ou o denominador. Nesse caso, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada dele. A conjugada de x - raiz3x - 2 é x + raiz3x - 2. Vamos fazer isso:
x - raiz3x - 2x^2 - 4 times x + raiz3x - 2x + raiz3x - 2

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
Numerador:
(x - raiz3x - 2)(x + raiz3x - 2) = x^2 - (raiz3x - 2)^2 = x^2 - (3x - 2) = x^2 - 3x + 2
Denominador:
(x^2 - 4)(x + raiz3x - 2) = (x - 2)(x + 2)(x + raiz3x - 2)
Então, a expressão fica:
x^2 - 3x + 2(x - 2)(x + 2)(x + raiz3x - 2)

Passo 5

Agora, vamos fatorar o numerador x^2 - 3x + 2. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. São -1 e -2. Então:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Substituindo na expressão:
(x - 1)(x - 2)(x - 2)(x + 2)(x + raiz3x - 2)

Passo 6

Perceba que o termo (x - 2) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo (desde que x neq 2, o que é válido para o limite):
x - 1(x + 2)(x + raiz3x - 2)

Passo 7

Agora, podemos substituir x = 2 na expressão simplificada:
2 - 1(2 + 2)(2 + raiz3 times 2 - 2) = 14 times (2 + raiz6 - 2) = 14 times (2 + 2) = 14 times 4 = 116

Resposta

116

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