Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso de equação separável: podemos escrever
e agrupar termos em
de um lado e termos em
do outro.
Passo 2
Escrevendo
obtemos
Agora separamos as variáveis dividindo por
(supondo provisoriamente
) e multiplicando por
:
Passo 3
Integramos os dois lados:
Calculando cada integral:
Igualando e absorvendo
numa só constante
:
Passo 4
Isolamos
. Multiplicando por
e invertendo ambos os lados:
onde definimos
. Assim a solução geral (não nula) é
Passo 5
Ao separar por
excluímos a possibilidade
. Verificamos diretamente na equação original que
satisfaz
Logo há também a solução trivial
.
Resposta
As soluções gerais são
onde
(ou
) é constante arbitrária.