Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime+y^2 sen x=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + y^2,sin x = 0
Este é um caso de equação separável: podemos escrever y'=dydx e agrupar termos em y de um lado e termos em x do outro.

Passo 2

Escrevendo y'=dydx obtemos
dydx = -,y^2,sin x
Agora separamos as variáveis dividindo por y^2 (supondo provisoriamente yneq0) e multiplicando por dx:
dyy^2 = -,sin x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral dyy^2 = integral -sin x,dx
Calculando cada integral:
integral y^-2dy = -1y + C1, integral -sin x,dx = cos x + C2
Igualando e absorvendo C1-C2 numa só constante C:
-1y = cos x + C

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo ambos os lados:
1y = -,cos x - C = C' - cos x,
onde definimos C'=-C. Assim a solução geral (não nula) é
y(x) = 1C' - cos x

Passo 5

Ao separar por y^2 excluímos a possibilidade y=0. Verificamos diretamente na equação original que y(x)equiv0 satisfaz
y' + y^2,sin x = 0 + 0 = 0
Logo há também a solução trivial y=0.

Resposta

As soluções gerais são
y(x) = 0 e y(x) = 1C - cos x,
onde C (ou C') é constante arbitrária.

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