Considere a base dada e as transformações linear conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares, que são funções que transformam vetores de um espaço para outro de maneira “linear”. Aqui, estamos trabalhando com o espaço tridimensional e temos uma base , que na verdade é a base padrão. A gente também sabe como a transformação linear age sobre cada um desses vetores da base. Nosso objetivo é determinar a forma completa dessa transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como estamos em , a matriz será . Cada coluna dessa matriz representa a imagem de um dos vetores da base pela transformação .
Passo 3
Vamos montar a matriz passo a passo. Sabemos que:
Cada um desses vetores será uma coluna da matriz.
Passo 4
Organizando as imagens dos vetores da base como colunas na matriz, teremos:
Passo 5
Agora, podemos expressar a transformação linear T usando essa matriz. Para qualquer vetor (x, y, z) em R^3, a transformação T é dada por:
T(x, y, z) = A cdot x y z = 2x + 0y + 1z 3x - 1y + 1z 1x + 2y + 1z = 2x + z 3x - y + z x + 2y + z
Resposta
A transformação linear T é representada pela matriz:
A = 2 & 0 & 1 3 & -1 & 1 1 & 2 & 1
E, para qualquer vetor (x, y, z) em R^3, a transformação é dada por: