Considere a base beta dada e as transformações linear T: R^3 R^3 conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares.
beta=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e T(1,0,0)=(2,3,1), T(0,1,0)=(0,-1,2), T(0,0,1)=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares, que são funções que transformam vetores de um espaço para outro de maneira “linear”. Aqui, estamos trabalhando com o espaço tridimensional R^3 e temos uma base beta = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), que na verdade é a base padrão. A gente também sabe como a transformação linear T age sobre cada um desses vetores da base. Nosso objetivo é determinar a forma completa dessa transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como estamos em R^3, a matriz será 3 times 3. Cada coluna dessa matriz representa a imagem de um dos vetores da base beta pela transformação T.

Passo 3

Vamos montar a matriz passo a passo. Sabemos que:
  • T(1,0,0) = (2,3,1)
  • T(0,1,0) = (0,-1,2)
  • T(0,0,1) = (1,1,1)
Cada um desses vetores será uma coluna da matriz.

Passo 4

Organizando as imagens dos vetores da base como colunas na matriz, teremos:
A = 2 & 0 & 1 3 & -1 & 1 1 & 2 & 1

Passo 5

Agora, podemos expressar a transformação linear T usando essa matriz. Para qualquer vetor (x, y, z) em R^3, a transformação T é dada por:
T(x, y, z) = A cdot x y z = 2x + 0y + 1z 3x - 1y + 1z 1x + 2y + 1z = 2x + z 3x - y + z x + 2y + z

Resposta

A transformação linear T é representada pela matriz:
A = 2 & 0 & 1 3 & -1 & 1 1 & 2 & 1
E, para qualquer vetor (x, y, z) em R^3, a transformação é dada por:
T(x, y, z) = 2x + z 3x - y + z x + 2y + z

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