Considere a base dada e as transformações linear conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma base no espaço e uma transformação linear que manda esses vetores base em certos outros vetores. Nosso objetivo é determinar a transformação linear completa, ou seja, descobrir como ela age em qualquer vetor de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de base, transformação linear e representação matricial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada completamente pela imagem dos vetores de uma base. Isso significa que se conhecemos onde cada vetor base vai, podemos descobrir a transformação para qualquer vetor. Como temos os vetores da base e suas imagens pela transformação , vamos usar isso para construir a matriz de .
Passo 3
Vamos chamar a matriz de de . Para encontrar , precisamos expressar as imagens dos vetores da base como combinações lineares dos vetores da base padrão de . No nosso caso, como estamos no espaço tridimensional, cada imagem será representada por uma coluna na matriz .
Passo 4
Vamos montar a matriz colocando as imagens dos vetores da base como colunas. Ou seja:
Passo 5
Agora que temos a matriz A, podemos definir a transformação linear T para qualquer vetor x = (x1, x2, x3) in R^3 multiplicando a matriz A por esse vetor: