Considere a base beta dada e as transformações linear T: R^3 R^3 conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares.
beta=(1,2,3),(0,1,-1),(1,0,2) e T(1,2,3)=(-1,2,2), T(0,1,-1)=(0,1,1), T(1,0,2)=(0,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma base beta = (1,2,3),(0,1,-1),(1,0,2) no espaço R^3 e uma transformação linear T que manda esses vetores base em certos outros vetores. Nosso objetivo é determinar a transformação linear completa, ou seja, descobrir como ela age em qualquer vetor de R^3. Para isso, vamos precisar usar conceitos de base, transformação linear e representação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada completamente pela imagem dos vetores de uma base. Isso significa que se conhecemos onde cada vetor base vai, podemos descobrir a transformação para qualquer vetor. Como temos os vetores da base beta e suas imagens pela transformação T, vamos usar isso para construir a matriz de T.

Passo 3

Vamos chamar a matriz de T de A. Para encontrar A, precisamos expressar as imagens dos vetores da base beta como combinações lineares dos vetores da base padrão de R^3. No nosso caso, como estamos no espaço tridimensional, cada imagem será representada por uma coluna na matriz A.

Passo 4

Vamos montar a matriz A colocando as imagens dos vetores da base beta como colunas. Ou seja:
A = T(1,2,3) & T(0,1,-1) & T(1,0,2) = -1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 2 & 1 & -1

Passo 5

Agora que temos a matriz A, podemos definir a transformação linear T para qualquer vetor x = (x1, x2, x3) in R^3 multiplicando a matriz A por esse vetor:
T(x) = A cdot x = -1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 2 & 1 & -1 x1 x2 x3 = -1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 0 cdot x3 2 cdot x1 + 1 cdot x2 + 0 cdot x3 2 cdot x1 + 1 cdot x2 -1 cdot x3

Passo 6

Simplificando, a transformação linear T fica:
T(x1, x2, x3) = (-x1, 2x1 + x2, 2x1 + x2 - x3)

Resposta

A transformação linear T é dada por:
T(x1, x2, x3) = (-x1, 2x1 + x2, 2x1 + x2 - x3)

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