Verifique se as seguintes transformações são lineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação
é linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma transformação linear e aplicar esses conceitos nessa transformação específica.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para qualquer vetor
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.
Passo 3
Vamos verificar a adição primeiro. Suponha que temos dois vetores
e
. Então:
Agora, vamos calcular
:
Para que a transformação seja linear, essas duas expressões precisam ser iguais. No entanto, olhando para a primeira componente:
A menos que
ou
sejam zero, isso geralmente não é verdade. Portanto, a propriedade de adição não é satisfeita.
Passo 4
Apesar de já termos encontrado que a adição não é preservada, vamos também verificar a homogeneidade para completar a análise. Para um escalar
e vetor
:
Comparando as duas expressões, vemos que
a menos que
ou
. Então, a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
A transformação
não é linear, pois não satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade necessárias para uma transformação linear.