Verifique se as seguintes transformações são lineares.
T(x, y)=(x y,-y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação T(x, y) = (xy, -y) é linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma transformação linear e aplicar esses conceitos nessa transformação específica.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para qualquer vetor u e v e qualquer escalar k , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(ku) = kT(u)
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.

Passo 3

Vamos verificar a adição primeiro. Suponha que temos dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) . Então:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2)(y1 + y2), -(y1 + y2))
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) = (x1 y1, -y1)
T(v) = (x2 y2, -y2)
T(u) + T(v) = (x1 y1 + x2 y2, -y1 - y2)
Para que a transformação seja linear, essas duas expressões precisam ser iguais. No entanto, olhando para a primeira componente:
(x1 + x2)(y1 + y2) neq x1 y1 + x2 y2
A menos que x1 ou y2 sejam zero, isso geralmente não é verdade. Portanto, a propriedade de adição não é satisfeita.

Passo 4

Apesar de já termos encontrado que a adição não é preservada, vamos também verificar a homogeneidade para completar a análise. Para um escalar k e vetor u = (x, y) :
T(ku) = T(kx, ky) = (k x cdot k y, -k y) = (k^2 x y, -k y)
kT(u) = k(x y, -y) = (k x y, -k y)
Comparando as duas expressões, vemos que k^2 x y neq k x y a menos que k = 0 ou x y = 0 . Então, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A transformação T(x, y) = (xy, -y) não é linear, pois não satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade necessárias para uma transformação linear.

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