Verifique se as seguintes transformações são lineares.
T([lla & b c & d])=a-b-c-d

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação T que pega uma matriz a & b c & d e retorna o valor a - b - c - d . O assunto aqui é Álgebra Linear, mais especificamente transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar verificar se T satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: V W é linear se, para quaisquer vetores u, v em V e qualquer escalar k , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(ku) = kT(u)
Nosso objetivo é verificar se a transformação T dada cumpre essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar a propriedade da adição primeiro.
Sejam duas matrizes:
A = a & b c & d
B = e & f g & h
Calculando T(A + B) :
A + B = a + e & b + f c + g & d + h
T(A + B) = (a + e) - (b + f) - (c + g) - (d + h) = a + e - b - f - c - g - d - h
Agora, calculando T(A) + T(B) :
T(A) = a - b - c - d
T(B) = e - f - g - h
T(A) + T(B) = (a - b - c - d) + (e - f - g - h) = a + e - b - f - c - g - d - h
Percebemos que T(A + B) = T(A) + T(B) , então a propriedade da adição está satisfazida.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar.
Seja k um escalar e uma matriz A = a & b c & d .
Calculando T(kA) :
kA = ka & kb kc & kd
T(kA) = ka - kb - kc - kd
Agora, calculando kT(A) :
T(A) = a - b - c - d
kT(A) = k(a - b - c - d) = ka - kb - kc - kd
Como T(kA) = kT(A) , a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como T satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, a transformação T é linear.

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