Considere a base dada e as transformações linear conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares. e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base para o espaço e uma transformação linear que é definida nos vetores dessa base. Nosso objetivo é determinar como essa transformação age em qualquer vetor de . Para isso, vamos usar conceitos de bases, transformações lineares e representação matricial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma transformação linear é completamente determinada por como ela age em uma base do espaço. Como já está definida nos vetores da base , podemos usar isso para construir a matriz que representa . A ideia é expressar qualquer vetor em como combinação linear dos vetores da base e então aplicar nos coeficientes dessa combinação.
Passo 3
Vamos denotar os vetores da base como , e . Sabemos que:
Nossa próxima etapa é encontrar a matriz que representa a transformação na base .
Passo 4
A matriz é formada colocando os vetores transformados , e como colunas. Assim:
Passo 5
Agora, para encontrar a transformação T na base padrão, precisamos relacionar a base beta com a base padrão. Isso envolve calcular a matriz de mudança de base de beta para a base padrão, que chamaremos de P.
Passo 6
A matriz P é formada colocando os vetores da base beta como colunas:
P = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1
Passo 7
A matriz da transformação T na base padrão é dada por: