Considere a base beta dada e as transformações linear T: R^3 R^3 conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares.
beta=(1,-1,0),(0,1,1),(1,0,-1) e T(1,-1,0)=(1,0,0), T(0,1,1)=(0,-1,1), T(1,0,-1)=(1,-1,-1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base beta = (1,-1,0), (0,1,1), (1,0,-1) para o espaço R^3 e uma transformação linear T: R^3 R^3 que é definida nos vetores dessa base. Nosso objetivo é determinar como essa transformação age em qualquer vetor de R^3. Para isso, vamos usar conceitos de bases, transformações lineares e representação matricial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma transformação linear é completamente determinada por como ela age em uma base do espaço. Como T já está definida nos vetores da base beta, podemos usar isso para construir a matriz que representa T. A ideia é expressar qualquer vetor v em R^3 como combinação linear dos vetores da base beta e então aplicar T nos coeficientes dessa combinação.

Passo 3

Vamos denotar os vetores da base beta como b1 = (1,-1,0), b2 = (0,1,1) e b3 = (1,0,-1). Sabemos que:
T(b1) = (1,0,0), T(b2) = (0,-1,1), T(b3) = (1,-1,-1)
Nossa próxima etapa é encontrar a matriz [T]beta que representa a transformação T na base beta.

Passo 4

A matriz [T]beta é formada colocando os vetores transformados T(b1), T(b2) e T(b3) como colunas. Assim:
[T]beta = 1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 0 & 1 & -1

Passo 5

Agora, para encontrar a transformação T na base padrão, precisamos relacionar a base beta com a base padrão. Isso envolve calcular a matriz de mudança de base de beta para a base padrão, que chamaremos de P.

Passo 6

A matriz P é formada colocando os vetores da base beta como colunas:
P = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1

Passo 7

A matriz da transformação T na base padrão é dada por:
[T] = P cdot [T]beta
Vamos multiplicar as matrizes P e [T]beta:
[T] = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 cdot 1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 0 & 1 & -1

Passo 8

Fazendo a multiplicação das matrizes:
[T] = (1)(1) + (0)(0) + (1)(0) & (1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) & (1)(1) + (0)(-1) + (1)(-1) (-1)(1) + (1)(0) + (0)(0) & (-1)(0) + (1)(-1) + (0)(1) & (-1)(1) + (1)(-1) + (0)(-1) (0)(1) + (1)(0) + (-1)(0) & (0)(0) + (1)(-1) + (-1)(1) & (0)(1) + (1)(-1) + (-1)(-1)
Simplificando cada elemento:
[T] = 1 + 0 + 0 & 0 + 0 + 1 & 1 + 0 -1 -1 + 0 + 0 & 0 -1 + 0 & -1 -1 + 0 0 + 0 + 0 & 0 -1 -1 & 0 -1 +1 = 1 & 1 & 0 -1 & -1 & -2 0 & -2 & 0

Resposta

A transformação linear T é representada pela matriz:
[T] = 1 & 1 & 0 -1 & -1 & -2 0 & -2 & 0

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