Considere a base dada e as transformações linear conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base no espaço e uma transformação linear que manda esses vetores para outros vetores específicos. Nosso objetivo aqui é descobrir como exatamente é essa transformação linear . Para isso, vamos usar conceitos de bases, transformações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente definida pelo que ela faz com os vetores de uma base. Isso significa que, se conhecemos em uma base , podemos descobrir para qualquer vetor do espaço.
Passo 3
A gente tem os vetores da base e as imagens deles pela transformação :
Nosso próximo passo é organizar essas informações de uma forma que possamos construir a matriz da transformação .
Passo 4
Vamos montar a matriz da transformação usando as imagens dos vetores da base . Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base por :
Aqui, a primeira coluna é T(1,0,3), a segunda coluna é T(-1,1,0) e a terceira coluna é T(1,0,0).
Passo 5
Agora, para encontrar a transformação linear T em termos gerais, qualquer vetor (x,y,z) em R^3 pode ser transformado usando essa matriz. Ou seja, se a gente tem um vetor v = (x,y,z), então:
T(v) = [T] cdot v = -2 & 0 & 2 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 x y z = -2x + 0y + 2z 1x + 0y + 0z 1x - y - z = -2x + 2z x x - y - z
Resposta
A transformação linear T: R^3 R^3 é dada pela matriz:
[T] = -2 & 0 & 2 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1
Ou, de forma geral, para qualquer vetor (x, y, z):