Considere a base beta dada e as transformações linear T: R^3 R^3 conforme descritas abaixo. Determine cada uma das transformações lineares.
beta=(1,0,3),(-1,1,0),(1,0,0) e T(1,0,3)=(-2,1,1), T(-1,1,0)=(0,0,-1), T(1,0,0)=(2,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base beta = (1,0,3), (-1,1,0), (1,0,0) no espaço R^3 e uma transformação linear T que manda esses vetores para outros vetores específicos. Nosso objetivo aqui é descobrir como exatamente é essa transformação linear T. Para isso, vamos usar conceitos de bases, transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente definida pelo que ela faz com os vetores de uma base. Isso significa que, se conhecemos T em uma base beta, podemos descobrir T para qualquer vetor do espaço.

Passo 3

A gente tem os vetores da base beta e as imagens deles pela transformação T:
T(1,0,3) = (-2,1,1)
T(-1,1,0) = (0,0,-1)
T(1,0,0) = (2,0,-1)
Nosso próximo passo é organizar essas informações de uma forma que possamos construir a matriz da transformação T.

Passo 4

Vamos montar a matriz da transformação T usando as imagens dos vetores da base beta. Cada coluna da matriz será a imagem de um vetor da base beta por T:
[T] = -2 & 0 & 2 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1
Aqui, a primeira coluna é T(1,0,3), a segunda coluna é T(-1,1,0) e a terceira coluna é T(1,0,0).

Passo 5

Agora, para encontrar a transformação linear T em termos gerais, qualquer vetor (x,y,z) em R^3 pode ser transformado usando essa matriz. Ou seja, se a gente tem um vetor v = (x,y,z), então:
T(v) = [T] cdot v = -2 & 0 & 2 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 x y z = -2x + 0y + 2z 1x + 0y + 0z 1x - y - z = -2x + 2z x x - y - z

Resposta

A transformação linear T: R^3 R^3 é dada pela matriz:
[T] = -2 & 0 & 2 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1
Ou, de forma geral, para qualquer vetor (x, y, z):
T(x, y, z) = (-2x + 2z, x, x - y - z)

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