Determine se a função dada nos casos abaixo é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, dada por
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
definida por
A pergunta é: determinar se essa função é uma transformação linear e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra explícita: a imagem do vetor
é . - Não há termo constante separado (por exemplo, nenhum vetor fixo sendo somado na fórmula).
Passo 2
Definição e o que precisamos verificar (aulas rápidas, sem pulo de etapas).
Uma aplicação é linear se satisfaz duas propriedades para todos os vetores
e todo escalar
:
Uma aplicação
- Aditividade:
. - Homogeneidade (compatibilidade com escalares):
.
Se conseguirmos provar essas duas propriedades para a regra dada, então
é linear. Vou verificar cada propriedade passo a passo, mostrando as contas direitinhas.
Passo 3
Verificação da aditividade.
Sejam e
. Primeiro calculo
:
Sejam
Agora aplico
em
:
Faço as somas e organizo os termos:
Agora calculo
e
separadamente:
Somando
:
Comparando com
vemos que os componentes coincidem termo a termo. Logo
Passo 4
Verificação da homogeneidade.
Seja e
. Primeiro calculo
:
Seja
Aplico
em
:
Fatorando
em cada componente:
Mas
. Portanto
Passo 5
Observação alternativa (intuição rápida e conexão com matrizes).
A regra dada pode ser escrita como multiplicação por uma matriz . Escrevendo o vetor coluna
, tem-se
A regra dada pode ser escrita como multiplicação por uma matriz
Multiplicação por matriz é uma operação linear (satisfaz aditividade e homogeneidade automaticamente). Além disso, não há termo constante somado (ou seja, não aparece nenhum vetor fixo independente de
), o que confirma que não é uma afinação não-linear do tipo
com
. Isso é outra forma curta de ver a linearidade.]
Passo 6
Resumo das verificações e encorajamento rápido.
Foram verificadas explicitamente as duas propriedades requeridas: e
para vetores e escalares arbitrários. Portanto a regra dada satisfaz a definição de transformação linear. Parabéns por acompanhar as contas — isso é exatamente o que cai na prova: seguir a definição e mostrar passo a passo. Força aí!
Foram verificadas explicitamente as duas propriedades requeridas:
Resposta
Sim.
é uma transformação linear.