Determine se a função dada nos casos abaixo é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: R^{2} \rightarrow R^{2}, dada por T(x, y)=(x+2 y, 3 x-y)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+2y,\;3x-y).
A pergunta é: determinar se essa função é uma transformação linear e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^2.
  • Regra explícita: a imagem do vetor (x,y) é (x+2y,\;3x-y).
  • Não há termo constante separado (por exemplo, nenhum vetor fixo sendo somado na fórmula).

Passo 2

Definição e o que precisamos verificar (aulas rápidas, sem pulo de etapas).
Uma aplicação T: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se satisfaz duas propriedades para todos os vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade (compatibilidade com escalares): T(cu)=c\,T(u).
Se conseguirmos provar essas duas propriedades para a regra dada, então T é linear. Vou verificar cada propriedade passo a passo, mostrando as contas direitinhas.

Passo 3

Verificação da aditividade.
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Primeiro calculo u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplico T em u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=( (x_1+x_2)+2(y_1+y_2),\;3(x_1+x_2)-(y_1+y_2) ).
Faço as somas e organizo os termos:
T(u+v)=\big( x_1+x_2+2y_1+2y_2,\;3x_1+3x_2-y_1-y_2 \big).
Agora calculo T(u) e T(v) separadamente:
T(u)=(x_1+2y_1,\;3x_1-y_1),\qquad T(v)=(x_2+2y_2,\;3x_2-y_2).
Somando T(u)+T(v):
T(u)+T(v)=\big( x_1+2y_1+x_2+2y_2,\;3x_1-y_1+3x_2-y_2 \big).
Comparando com T(u+v) vemos que os componentes coincidem termo a termo. Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade.
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Primeiro calculo cu:
cu=(c x,\; c y).
Aplico T em cu:
T(cu)=T(c x,\; c y)=( c x + 2(c y),\; 3(c x) - (c y) ).
Fatorando c em cada componente:
T(cu)=( c(x+2y),\; c(3x-y) )=c\,(x+2y,\;3x-y).
Mas (x+2y,\;3x-y)=T(x,y)=T(u). Portanto
T(cu)=c\,T(u).

Passo 5

Observação alternativa (intuição rápida e conexão com matrizes).
A regra dada pode ser escrita como multiplicação por uma matriz 2\times2. Escrevendo o vetor coluna (x,y), tem-se
T(x,y)=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[2pt] y\end{pmatrix}.
Multiplicação por matriz é uma operação linear (satisfaz aditividade e homogeneidade automaticamente). Além disso, não há termo constante somado (ou seja, não aparece nenhum vetor fixo independente de x,y), o que confirma que não é uma afinação não-linear do tipo Ax+b com b\neq 0. Isso é outra forma curta de ver a linearidade.]

Passo 6

Resumo das verificações e encorajamento rápido.
Foram verificadas explicitamente as duas propriedades requeridas: T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u) para vetores e escalares arbitrários. Portanto a regra dada satisfaz a definição de transformação linear. Parabéns por acompanhar as contas — isso é exatamente o que cai na prova: seguir a definição e mostrar passo a passo. Força aí!

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

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