Considere alpha a base canônica de R^2 e T: R^2 R^2 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[cc 5 & -1 1 & 3 ]
Encontre:
(a) O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.
(b) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
[T]alpha^alpha = 5 & -1[6pt] 1 & 3
Pede-se (a) o polinômio característico de T e todos os candidatos a polinômio minimal, e (b) determinar o polinômio minimal e verificar se T é diagonalizável. Vamos usar a definição de polinômio característico como chiT(lambda)=detl(A-lambda Ir) e o fato de que o polinômio minimal é um divisor monico de chiT.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico:
chiT(lambda) =det!l(5&-11&3-lambda1&00&1r) =det!5-lambda&-1[3pt]1&3-lambda
Expandindo,
chiT(lambda) =(5-lambda)(3-lambda)-(-1)cdot1 =(5-lambda)(3-lambda)+1 =lambda^2-8lambda+16 =(lambda-4)^2 ]

Passo 3

Os candidatos a polinômio minimal muT(lambda) são todos os divisores monicos de chiT(lambda)=(lambda-4)^2, ou seja:
mu1(lambda)=lambda-4, mu2(lambda)=(lambda-4)^2

Passo 4

Para decidir qual vale de fato, testamos se T-4I=0. A matriz de T-4I é
5&-11&3 -41&00&1 =1&-1[3pt]1&-1,
que não é a matriz zero. Logo muT(lambda) não pode ser lambda-4 (caso em que T-4I=0), e sim
muT(lambda)=(lambda-4)^2 ]

Passo 5

Um operador é diagonalizável se, e só se, o polinômio minimal se separa em raízes simples ou, equivalentemente, a soma das dimensões dos espaços próprios é igual à dimensão do espaço. Aqui chiT tem raiz única lambda=4 de multiplicidade algébrica 2, mas
dimker(T-4I) =dimker1&-11&-1 =1<2
Além disso, muT tem fator repetido, o que impede diagonalização. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

(a) chiT(lambda)=lambda^2-8lambda+16=(lambda-4)^2. Candidatos a muT: lambda-4 e (lambda-4)^2.
(b) muT(lambda)=(lambda-4)^2 e T não é diagonalizável.

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