Considere alpha a base canônica de R^4 e T: R^4 R^4 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[cccc 2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3 ]
Encontre:
(a) O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.
(b) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^4toR^4 cuja matriz em relação à base canônica é triangular superior com entradas diagonais 2,2,3,3. Precisamos computar o polinômio característico, listar todos os candidatos ao polinômio minimal (que são os divisores que envolvem cada fator linear), determinar o polinômio minimal examinando os blocos de Jordan e, finalmente, verificar a diagonalizabilidade de T.

Passo 2

Como T é representado por matriz triangular superior, o polinômio característico é o produto prodi=1^4(t-lambdai) onde lambdai são as entradas da diagonal. Logo,
chiT(t) =(t-2)(t-2)(t-3)(t-3) =(t-2)^2,(t-3)^2

Passo 3

Os candidatos ao polinômio minimal são todos os divisores de chiT(t) que contenham cada fator (t-2) e (t-3) pelo menos uma vez. Assim,
m(t)inl(t-2)(t-3),;(t-2)^2(t-3),;(t-2)(t-3)^2,;(t-2)^2(t-3)^2r

Passo 4

Para determinar a multiplicidade de cada fator em m(t) analisamos os blocos de Jordan implícitos na matriz:
  • No subbloco associado a lambda=2, a submatriz 2&-10&2 é um bloco de Jordan de tamanho 2, logo (t-2)^2 divide m(t).
  • No subbloco associado a lambda=3, a submatriz 3&20&3 também é um bloco de Jordan de tamanho 2, logo (t-3)^2 divide m(t).
    Portanto, o polinômio minimal é
mT(t)=(t-2)^2,(t-3)^2

Passo 5

Um operador é diagonalizável se e somente se seu polinômio minimal se fatorar em fatores lineares simples (sem raízes repetidas). Aqui mT(t) tem multiplicidade 2 em cada fator, logo T não é diagonalizável.

Resposta

(a) chiT(t)=(t-2)^2(t-3)^2.
Os candidatos a mT(t) são
(t-2)(t-3), (t-2)^2(t-3), (t-2)(t-3)^2, (t-2)^2(t-3)^2
(b) mT(t)=(t-2)^2(t-3)^2 e T não é diagonalizável.

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