Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre:
(a) O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.
(b) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^4toR^4 cuja matriz em relação à base canônica é triangular superior com entradas diagonais 2,2,3,3. Precisamos computar o polinômio característico, listar todos os candidatos ao polinômio minimal (que são os divisores que envolvem cada fator linear), determinar o polinômio minimal examinando os blocos de Jordan e, finalmente, verificar a diagonalizabilidade de T.
Passo 2
Como T é representado por matriz triangular superior, o polinômio característico é o produto prodi=1^4(t-lambdai) onde lambdai são as entradas da diagonal. Logo,
chiT(t) =(t-2)(t-2)(t-3)(t-3) =(t-2)^2,(t-3)^2
Passo 3
Os candidatos ao polinômio minimal são todos os divisores de chiT(t) que contenham cada fator (t-2) e (t-3) pelo menos uma vez. Assim,
Para determinar a multiplicidade de cada fator em m(t) analisamos os blocos de Jordan implícitos na matriz:
No subbloco associado a lambda=2, a submatriz 2&-10&2 é um bloco de Jordan de tamanho 2, logo (t-2)^2 divide m(t).
No subbloco associado a lambda=3, a submatriz 3&20&3 também é um bloco de Jordan de tamanho 2, logo (t-3)^2 divide m(t).
Portanto, o polinômio minimal é
mT(t)=(t-2)^2,(t-3)^2
Passo 5
Um operador é diagonalizável se e somente se seu polinômio minimal se fatorar em fatores lineares simples (sem raízes repetidas). Aqui mT(t) tem multiplicidade 2 em cada fator, logo Tnão é diagonalizável.
Resposta
(a) chiT(t)=(t-2)^2(t-3)^2.
Os candidatos a mT(t) são