Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre:
(a) O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.
(b) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T]alpha^alpha = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 ,
e pede em (a) o polinômio característico de T e todos os candidatos a polinômio minimal, e em (b) determinar o polinômio minimal efetivo e verificar se T é diagonalizável. Vamos usar definição de determinante para achar o polinômio característico, fatorá-lo para listar divisores e depois aplicar a definição de polinômio minimal.
Passo 2
Para calcular o polinômio característico chiT(lambda)=det([T]alpha^alpha - lambda I), montamos
O polinômio minimal mT(lambda) deve anular T e conter cada fator linear correspondente a cada valor próprio de T. Como T tem três autovalores distintos 1,2,3, mT(lambda) deve conter os três fatores lineares, isto é,
boxedmT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
Passo 6
Um operador linear em espaço de dimensão 3 é diagonalizável se e somente se seu polinômio minimal se fatorar como produto de três fatores lineares distintos. Como
mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
já é produto de três fatores lineares distintos, concluímos que T é diagonalizável.
Resposta
(a) chiT(lambda)=lambda^3-6lambda^2+11lambda-6=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3).
Candidatos a polinômio minimal: lambda-1,;lambda-2,;lambda-3,;(lambda-1)(lambda-2),;(lambda-1)(lambda-3),;(lambda-2)(lambda-3),;(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
(b) mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3) e T é diagonalizável.