Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 ]
Encontre:
(a) O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.
(b) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T]alpha^alpha = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 ,
e pede em (a) o polinômio característico de T e todos os candidatos a polinômio minimal, e em (b) determinar o polinômio minimal efetivo e verificar se T é diagonalizável. Vamos usar definição de determinante para achar o polinômio característico, fatorá-lo para listar divisores e depois aplicar a definição de polinômio minimal.

Passo 2

Para calcular o polinômio característico chiT(lambda)=det([T]alpha^alpha - lambda I), montamos
[T]alpha^alpha - lambda I = 1-lambda & 2 & 1 -1 & 3-lambda & 1 0 & 2 & 2-lambda
Expandindo o determinante pelo método de cofactores:
chiT(lambda) &=det 1-lambda & 2 & 1 -1 & 3-lambda & 1 0 & 2 & 2-lambda &=(1-lambda)det 3-lambda & 1 2 & 2-lambda -2det -1 & 1 0 & 2-lambda +1det -1 & 3-lambda 0 & 2
Calculando cada menor:
det 3-lambda & 1 2 & 2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-2 =lambda^2-5lambda+4,
det -1 & 1 0 & 2-lambda =-1,(2-lambda)=lambda-2, det -1 & 3-lambda 0 & 2 =-2
Substituindo:
chiT(lambda) =(1-lambda)(lambda^2-5lambda+4) -2(lambda-2) -2
Fazendo as contas obtém-se
chiT(lambda)=-lambda^3+6lambda^2-11lambda+6,
ou, multiplicando por -1,
boxedchiT(lambda)=lambda^3-6lambda^2+11lambda-6

Passo 3

Fatorando chiT(lambda) em raízes inteiras, testamos lambda=1,2,3. Verifica-se:
chiT(1)=1-6+11-6=0, chiT(2)=8-24+22-6=0, chiT(3)=27-54+33-6=0
Logo
chiT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)

Passo 4

Os candidatos a polinômio minimal de T são todos os polinômios monicos que dividem chiT(lambda). São:
lambda-1, lambda-2, lambda-3, (lambda-1)(lambda-2),;(lambda-1)(lambda-3),;(lambda-2)(lambda-3), (lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)

Passo 5

O polinômio minimal mT(lambda) deve anular T e conter cada fator linear correspondente a cada valor próprio de T. Como T tem três autovalores distintos 1,2,3, mT(lambda) deve conter os três fatores lineares, isto é,
boxedmT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)

Passo 6

Um operador linear em espaço de dimensão 3 é diagonalizável se e somente se seu polinômio minimal se fatorar como produto de três fatores lineares distintos. Como
mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
já é produto de três fatores lineares distintos, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

(a) chiT(lambda)=lambda^3-6lambda^2+11lambda-6=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3).
Candidatos a polinômio minimal:
lambda-1,;lambda-2,;lambda-3,;(lambda-1)(lambda-2),;(lambda-1)(lambda-3),;(lambda-2)(lambda-3),;(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
(b) mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3) e T é diagonalizável.

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