(a) Encontre todos os autovalores de .
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de .
(c) Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de .
(d) Se possível, determine uma base de cujos elementos são autovetores de .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
e pede (a) autovalores, (b) bases de autoespaços, (c) multiplicidades algébrica e geométrica, (d) verificar se há base de autovetores de . Para isso vamos escrever a matriz de na base canônica, calcular o polinômio característico, achar as raízes e depois resolver .
Passo 2
Na base canônica temos
O polinômio característico é
det(A-lambda I) ;=;lambda^3 -12lambda +16
Fatorando, lambda^3-12lambda+16=(lambda-2)^2(lambda+4). Logo os autovalores são
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor são
lambda=2: ma=2, mg=dim E2=1,
lambda=-4: ma=1, mg=dim E-4=1
Passo 6
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1=2<3, não há três autovetores linearmente independentes. Portanto T não é diagonalizável e não existe base de R^3 formada só por autovetores.
Resposta
(a) Os autovalores são lambda=2 (algébrica 2) e lambda=-4 (algébrica 1).
(b) Para lambda=2: base de E2 é (1,1,0). Para lambda=-4: base de E-4 é (0,1,1).
(c) lambda=2: ma=2, mg=1. lambda=-4: ma=1, mg=1.
(d) Não existe base beta de R^3 só com autovetores de T (não é diagonalizável).