Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
(a) Encontre todos os autovalores de T.
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de T.
(c) Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.
(d) Se possível, determine uma base beta de R^3 cujos elementos são autovetores de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (3x - y + z,;7x -5y + z,;6x -6y + 2z),
e pede (a) autovalores, (b) bases de autoespaços, (c) multiplicidades algébrica e geométrica, (d) verificar se há base de autovetores de R^3. Para isso vamos escrever a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, achar as raízes e depois resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica temos
A = 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2
O polinômio característico é
det(A-lambda I) ;=;lambda^3 -12lambda +16
Fatorando, lambda^3-12lambda+16=(lambda-2)^2(lambda+4). Logo os autovalores são
lambda=2(mu<iplicidade algébrica 2), lambda=-4(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 3

Para
Da terceira equação . Assim
e uma base de é .

Passo 4

Para
Da primeira e da terceira obtemos . Logo
e uma base de é .

Passo 5

As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor são
lambda=2: ma=2, mg=dim E2=1,
lambda=-4: ma=1, mg=dim E-4=1

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1=2<3, não há três autovetores linearmente independentes. Portanto T não é diagonalizável e não existe base de R^3 formada só por autovetores.

Resposta

(a) Os autovalores são lambda=2 (algébrica 2) e lambda=-4 (algébrica 1).
(b) Para lambda=2: base de E2 é (1,1,0). Para lambda=-4: base de E-4 é (0,1,1).
(c) lambda=2: ma=2, mg=1. lambda=-4: ma=1, mg=1.
(d) Não existe base beta de R^3 só com autovetores de T (não é diagonalizável).

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