Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por
T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
(a) Encontre todos os autovalores de T.
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de T.
(c) Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.
(d) Se possível, determine uma base beta de R^2 cujos elementos são autovetores de T.

Passo 1

O operador linear Tcolon R^2toR^2 é dado por
T(x,y) = (2x+2y,;x+3y)
Precisamos encontrar (a) os autovalores de T, (b) bases dos autoespaços correspondentes, (c) as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e (d) verificar se há uma base de R^2 formada por autovetores de T. Para isso usaremos o polinômio característico e resolveremos l(A-lambda Ir)v=0.

Passo 2

Escrevendo a matriz de T na base canônica, temos
A = 2 & 2 [6pt] 1 & 3
O polinômio característico é
detl(A - lambda Ir) = det2-lambda & 2 [3pt] 1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2cdot1 ]

Passo 3

Calculando o determinante:
(2-lambda)(3-lambda) - 2 = lambda^2 -5lambda +6 -2 = lambda^2 -5lambda +4
As raízes deste polinômio satisfazem
lambda^2 -5lambda +4 =0 Longrightarrow lambda =1oulambda=4
Portanto, os autovalores de T são lambda1=1 e lambda2=4.

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
A única equação não trivial é , logo . Um gerador do autoespaço é
Assim, uma base do autoespaço de é .
]

Passo 5

Para resolvemos :
A equação é , ou seja . Um gerador do autoespaço é
Logo, uma base do autoespaço de é .
]

Passo 6

Cada autovalor lambda=1 e lambda=4 aparece com multiplicidade algébrica 1 (raízes simples do polinômio característico). Como cada autoespaço também tem dimensão 1, a multiplicidade geométrica de cada um é 1.

Passo 7

Temos dois autovalores distintos em R^2 e cada autoespaço é de dimensão 1. Portanto, v1,v2 = (-2,1),(1,1) é um conjunto de 2 vetores linearmente independentes em R^2 formados por autovetores de T. Isso é uma base de autovetores.

Resposta

(a) Os autovalores são lambda1=1 e lambda2=4.
(b) Bases dos autoespaços: para lambda=1, (-2,1); para lambda=4, (1,1).
(c) Para cada autovalor a multiplicidade algébrica é 1 e a geométrica é 1.
(d) A base de R^2 formada por autovetores é
beta = ,(-2,1),;(1,1)

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