Considere o operador linear
definido por
(a) Encontre todos os autovalores de
.
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de
.
(c) Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de
.
(d) Se possível, determine uma base
de
cujos elementos são autovetores de
.
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de
(c) Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de
(d) Se possível, determine uma base
Passo 1
O operador linear
é dado por
Precisamos encontrar (a) os autovalores de
, (b) bases dos autoespaços correspondentes, (c) as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e (d) verificar se há uma base de
formada por autovetores de
. Para isso usaremos o polinômio característico e resolveremos
.
Passo 2
Escrevendo a matriz de
na base canônica, temos
O polinômio característico é
Passo 3
Calculando o determinante:
As raízes deste polinômio satisfazem
Portanto, os autovalores de
são
e
.
Passo 4
Para
resolvemos
, ou seja
A única equação não trivial é
, logo
. Um gerador do autoespaço é
Assim, uma base do autoespaço de
é
.
]
]
Passo 5
Para
resolvemos
:
A equação é
, ou seja
. Um gerador do autoespaço é
Logo, uma base do autoespaço de
é
.
]
]
Passo 6
Cada autovalor
e
aparece com multiplicidade algébrica
(raízes simples do polinômio característico). Como cada autoespaço também tem dimensão
, a multiplicidade geométrica de cada um é
.
Passo 7
Temos dois autovalores distintos em
e cada autoespaço é de dimensão
. Portanto,
é um conjunto de
vetores linearmente independentes em
formados por autovetores de
. Isso é uma base de autovetores.
Resposta
(a) Os autovalores são
e
.
(b) Bases dos autoespaços: para ,
; para
,
.
(c) Para cada autovalor a multiplicidade algébrica é e a geométrica é
.
(d) A base de formada por autovetores é
(b) Bases dos autoespaços: para
(c) Para cada autovalor a multiplicidade algébrica é
(d) A base de