Verdadeiro
ou falso
, justifique sua resposta.
( ) Todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações, é compatível e indeterminado.
( ) Todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações, é compatível e indeterminado.
Passo 1
O enunciado pergunta se “todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações é compatível e indeterminado”. Este é um tema de Álgebra Linear: compatibilidade de sistemas e classificação segundo o número de incógnitas
e de equações
.
Passo 2
Lembremos que um sistema linear
(com
de tamanho
) é compatível se, e somente se,
Quando ele é compatível, o número de variáveis livres (graus de liberdade) é
Se
, há pelo menos uma variável livre e o sistema, sendo compatível, é indeterminado (infinitas soluções).
Passo 3
No entanto, ter
não garante
. É possível ter
, o que torna o sistema incompatível (sem solução). Ou seja, sobredeterminar
não impede contradições entre as equações.
Passo 4
Um contraexemplo simples é o sistema com
Aqui e
, tornando o sistema incompatível.
Resposta
F