Considere a base de P3 dada por B=1+X+X^2+X^3,-X+X^2, 1-X, 1.
(b) Com respeito à base U=1, X, X^2, X^3, calcule a matriz de mudança de base [I]B^U.

Passo 1

O enunciado dá a base
B=,1+X+X^2+X^3,,-X+X^2,,1-X,,1
do espaço P3 e pede a matriz de mudança de base
[I]B^U,
onde U=1,X,X^2,X^3 é a base canônica.
Para isso, vamos escrever cada vetor de B em coordenadas na base U.

Passo 2

Se p(X)=a0+a1X+a2X^2+a3X^3, então suas coordenadas em U são
a0 a1 a2 a3

Passo 3

Calculamos as coordenadas de cada vetor de B em U:
  • Para b1=1+X+X^2+X^3,
    a0=1,;a1=1,;a2=1,;a3=1, logo
    1111
  • Para b2=-X+X^2,
    a0=0,;a1=-1,;a2=1,;a3=0, logo
    0-110
  • Para b3=1-X,
    a0=1,;a1=-1,;a2=0,;a3=0, logo
    1-100
  • Para b4=1,
    a0=1,;a1=0,;a2=0,;a3=0, logo
    1000

Passo 4

A matriz de mudança de base [I]B^U tem como colunas essas coordenadas, na ordem dos vetores de B. Logo
[I]B^U = 1 & 0 & 1 & 1 [6pt] 1 & -1 & -1 & 0 [6pt] 1 & 1 & 0 & 0 [6pt] 1 & 0 & 0 & 0 ]

Resposta

[I]B^U = 1 & 0 & 1 & 1 1 & -1 & -1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0

Exercícios relacionados