Verdadeiro ou falso:
(b) Em R^512, existem dois subespaços W1 e W2, de dimensões 211 e 301, respectivamente, cuja interseção só contém o vetor nulo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se em R^512 existem subespaços W1 e W2 com
dim(W1)=211 e dim(W2)=301 cuja interseção seja apenas o vetor zero.
O conteúdo que precisamos é o Teorema da Dimensão para subespaços, ou seja,
dim(W1) + dim(W2) = dim(W1 + W2) + dim(W1 cap W2),
além do fato de que dim(W1+W2) <= 512.

Passo 2

Pela fórmula da dimensão temos
dim(W1cap W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1+W2) >= 211 + 301 - 512 = 0
Como a dimensão de uma interseção é sempre um número inteiro não negativo, o menor valor possível é 0. Logo é perfeitamente consistente ter
dim(W1cap W2)=0, isto é, W1cap W2=0.

Passo 3

Para ver que isso realmente ocorre, basta dar um exemplo explícito em coordenadas canônicas. Seja
W1=spane1,e2,dots,e211, W2=spane212,e213,dots,e512
Cada um tem a dimensão desejada e, como os conjuntos de vetores são disjuntos, a única combinação que dá zero em comum é a trivial. Portanto a interseção é 0.

Resposta

Verdadeiro.

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