Verdadeiro ou falso:
(b) Em
, existem dois subespaços
e
, de dimensões 211 e 301, respectivamente, cuja interseção só contém o vetor nulo.
(b) Em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se em
existem subespaços
e
com
e
cuja interseção seja apenas o vetor zero.
O conteúdo que precisamos é o Teorema da Dimensão para subespaços, ou seja,
O conteúdo que precisamos é o Teorema da Dimensão para subespaços, ou seja,
além do fato de que
.
Passo 2
Pela fórmula da dimensão temos
Como a dimensão de uma interseção é sempre um número inteiro não negativo, o menor valor possível é
. Logo é perfeitamente consistente ter
, isto é,
.
Passo 3
Para ver que isso realmente ocorre, basta dar um exemplo explícito em coordenadas canônicas. Seja
Cada um tem a dimensão desejada e, como os conjuntos de vetores são disjuntos, a única combinação que dá zero em comum é a trivial. Portanto a interseção é
.
Resposta
Verdadeiro.