Considere a base de P3 dada por B=1+X+X^2+X^3,-X+X^2, 1-X, 1.
(a) Calcule as coordenadas [p(X)]B do polinômio p(X)=2+3 X+4 X^2-7 X^3 com respeito à base B.

Passo 1

O enunciado dá a base
B=,1+X+X^2+X^3,;-X+X^2,;1-X,;1
do espaço P3 e pede as coordenadas de
p(X)=2+3X+4X^2-7X^3
nessa base. Em P3, para achar [p(X)]B expressamos p como combinação linear dos vetores da base e igualamos coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c,d tais que
a,(1+X+X^2+X^3) ;+; b,(-X+X^2) ;+; c,(1-X);+; d,(1) ;=;2+3X+4X^2-7X^3

Passo 3

Expandindo à esquerda e coletando termos semelhantes, obtemos:
constante: a + c + d,
coeficiente de X: a - b - c,
coeficiente de X^2: a + b,
coeficiente de X^3: a.
Isso gera o sistema
a + c + d = 2, a - b - c = 3, a + b = 4, a = -7

Passo 4

Resolvendo o sistema em ordem conveniente:
a = -7
De a + b = 4 segue
b = 4 - a = 4 - (-7) = 11
De a - b - c = 3 vem
-7 - 11 - c = 3 Longrightarrow c = -7 -11 -3 = -21
Por fim, de a + c + d = 2 temos
-7 + (-21) + d = 2 Longrightarrow d = 2 + 28 = 30

Passo 5

Assim, os escalares que compõem [p(X)]B são
a = -7, b = 11, c = -21, d = 30

Resposta

[p(X)]B = (-7,;11,;-21,;30)

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