Em R^4, seja W1=>=r[v1, v2], onde v1=(2,-2,1,0), v2=(2,-1,-1,1), e seja W2 o subespaço vetorial dado pelo conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo
-X1+X2+X3 & =0 X2 & -X4=
(a) Mostre que R^4=W1 oplus W2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em
onde
e é o espaço solução do sistema
Para mostrar uma soma direta basta verificar que
, e
. .

Passo 2

Calcular
Isso dá o sistema em termos de :
Da última equação também. Logo são independentes e

Passo 3

Calcular
temos
Tomando parâmetros , fica
Logo
e
.

Passo 4

Verificar
Se , deve satisfazer
Substituindo as componentes de .


.


Dessas e segue .
Portanto a intersecção é apenas o vetor zero.

Passo 5

Concluímos que
dim(W1)+dim(W2)=2+2=4 e W1capW2=0,
logo W1oplusW2 é um subespaço de dimensão 4 em R^4, ou seja
R^4 = W1 oplus W2

Resposta

Em R^4 vale
R^4 = W1 oplus W2

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