Sejam W1=(x, y, z) mid x=z e W2=(x, y, z) mid x+y+3 z=0
(20) Construa, se possível, T: R^3 R^3 t.q N(T)=W1 e Im(T)=W1 cap W2

Passo 1

O enunciado pede um operador linear
T:R^3toR^3
tal que
N(T)=W1=(x,y,z)mid x=z e Im(T)=W1cap W2,
onde
W2=(x,y,z)mid x+y+3z=0
Como dim W1=2, dim W2=2 e logo dim(W1cap W2)=1, pelo Teorema do Núcleo e Imagem precisamos de dim N(T)=2 e dimIm(T)=1. A construção padrão é escolher um funcional linear phi com kerphi=W1 e um vetor u que gere W1cap W2, e definir
T(v)=phi(v),u

Passo 2

Calculamos . Em temos . Substituindo em
Logo
de dimensão 1.

Passo 3

Escolhemos o funcional linear
phi:R^3toR, phi(x,y,z)=x-z
De fato kerphi=(x,y,z)mid x-z=0=W1.

Passo 4

Tomamos
u=(1,-4,1),
que gera W1cap W2. Definimos então
T(x,y,z)=phi(x,y,z),u =(x-z),(1,-4,1)

Passo 5

Verificações:
  1. Se então e como segue , ou seja . Logo .
  2. Todo valor de é múltiplo de , então
    .

Resposta

T:R^3toR^3, T(x,y,z)=l(x-z,,-4(x-z),,x-zr)

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