Verifique se as proposições são Falsas ou Verdadeiras. Justifique.
a. (10) W=(x, y) mid x >= y é subespaço vetorial de R^2

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y)inR^2 mid x >= y
e pergunta se W é subespaço vetorial de R^2. Para ser subespaço, é necessário e suficiente que:
  1. 0=(0,0)in W;
  2. u,vin W implique u+vin W;
  3. uin W e lambdainR impliquem lambda uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
(0,0)in Wpois 0>=0

Passo 3

Fechamento sob soma: se (x1,y1) e (x2,y2) estão em W, então x1>= y1 e x2>= y2. Somando as desigualdades,
x1 + x2 ;>=; y1 + y2,
logo (x1+x2,;y1+y2)in W. Portanto, W é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: basta um contraexemplo. Tome
u = (1,0)in Wpois1>=0
Escolha lambda = -1. Então
lambda u = (-1,0),
porém -1>=0 é falso, logo (-1,0)notin W. Assim, W não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

A proposição é Falsa.

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