Considere a base de R^4 dada por B=(1,0,0,0) ;(1,-1,0,0) ;(1,-2,1,0) ;(1,-3,3,1).
Dado o operador linear F: R^4 R^4 com F(x, y, z, t)=(x-t, x+z, z-y+t, y) obtenha a matriz [F]B de F com relação à base B.

Passo 1

O enunciado dá o espaço R^4 com a base
B = v1=(1,0,0,0),;v2=(1,-1,0,0),;v3=(1,-2,1,0),;v4=(1,-3,3,1)
e o operador linear
F(x,y,z,t) = (,x - t,;x + z,;z - y + t,;y,)
Precisamos encontrar a matriz [F]B, cujas colunas são as coordenadas de F(vj) em relação a B.

Passo 2

Calcular F(vj) para j=1,2,3,4:
F(v1)=F(1,0,0,0)=(1,1,0,0),
F(v2)=F(1,-1,0,0)=(1,1,1,-1),
F(v3)=F(1,-2,1,0)=(1,2,3,-2),
F(v4)=F(1,-3,3,1)=(0,4,7,-3)

Passo 3

Para expressar cada F(vj) na base B, escrevemos
F(vj) = c1j,v1 + c2j,v2 + c3j,v3 + c4j,v4
Sejam (x,y,z,t) = F(vj). Então o sistema para os coeficientes (c1j,c2j,c3j,c4j) é
c1j+c2j+c3j+c4j = x, -,c2j-2,c3j-3,c4j = y, c3j+3,c4j = z, c4j = t

Passo 4

Para F(v1)=(1,1,0,0) temos t=0, logo c4,1=0. Da terceira equação c3,1+3cdot0=0 vem c3,1=0. Da segunda -c2,1=1 segue c2,1=-1. Finalmente da primeira
c1,1-1+0+0=1implies c1,1=2
Logo a primeira coluna de [F]B é 2-100.

Passo 5

Para F(v2)=(1,1,1,-1) temos c4,2=-1. Da terceira c3,2-3=1 vem c3,2=4. Da segunda -c2,2-8+3=1 c2,2=-6. E da primeira
c1,2-6+4-1=1implies c1,2=4
Segunda coluna: 4-64-1.

Passo 6

Para F(v3)=(1,2,3,-2) obtemos c4,3=-2. Da terceira c3,3-6=3 vem c3,3=9. Da segunda -c2,3-18+6=2 c2,3=-14. E da primeira
c1,3-14+9-2=1implies c1,3=8
Terceira coluna: 8-149-2.

Passo 7

Para F(v4)=(0,4,7,-3) temos c4,4=-3. Da terceira c3,4-9=7 segue c3,4=16. Da segunda -c2,4-32+9=4 c2,4=-27. E da primeira
c1,4-27+16-3=0implies c1,4=14
Quarta coluna: 14-2716-3.

Resposta

[F]B = 2 & 4 & 8 & 14 -1 & -6 & -14 & -27 0 & 4 & 9 & 16 0 & -1 & -2 & -3

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