Verifique se as transformações abaixo são lineares:
i) F: P2(R) P2(R), F(p(t))=p^prime(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
Fcolon P2(R)to P2(R), Fl(p(t)r)=p'(t),
onde P2(R) é o espaço dos polinômios de grau <=2. Para mostrar que F é linear, precisamos checar duas propriedades para todo p,qin P2(R) e todo alphainR:
1) aditividade: F(p+q)=F(p)+F(q),
2) homogeneidade: F(alpha p)=alpha,F(p).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja p(t) e q(t) em P2(R). Então
Fl(p(t)+q(t)r) =l(p+qr)'(t) = p'(t)+q'(t) =Fl(p(t)r)+Fl(q(t)r)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e p(t)in P2(R). Então
Fl(alpha,p(t)r) =l(alpha pr)'(t) =alpha,p'(t) =alpha,Fl(p(t)r)

Passo 4

Como F satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que F é de fato uma transformação linear.

Resposta

A transformação Fcolon P2(R)to P2(R), definida por F(p(t))=p'(t), é linear.

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