Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
f) F: M2(R) M2(R), F(X)=A X, onde X in M2(R) e A=(ll1 & 2 2 & 4)
dim Ker(F)=square dim Im(F)=square
Assinale as alternativas corretas

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
;Fcolon M2(R)to M2(R),;F(X)=A,X,
onde
A=1 & 22 & 4
O que vamos usar:
– Teorema da dimensão (rank–nullity) para transformações lineares.
– Caracterização de ker F por colunas de X em ker A.
– Dimensão de M2( R) é 4.

Passo 2

Analisamos primeiro o operador Acolon R^2to R^2. Como as linhas de A são proporcionais, temos
rank(A)=1.
Pela relação de dimensão no espaço R^2,
dimker A + rank(A)=2 Longrightarrow dimker A=2-1=1

Passo 3

Uma matriz Xin M2( R) satisfaz A,X=0 se, e somente se, cada coluna de X pertence a ker A.
Como dimker A=1 e X tem duas colunas independentes, segue
dimker F =dimlX:AX=0r =underbrace1dimker Atimes underbrace2colunas =2

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) aplicado a Fcolon M2to M2,
dimker F + dimImF =dim M2( R) =4
Já achamos dimker F=2, logo
dimImF =4-2 =2

Resposta

dimker F=2
dimImF=2

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