Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
f) , onde e dim Ker(F)=square dim Im(F)=square
Assinale as alternativas corretas
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear ;Fcolon M2(R)to M2(R),;F(X)=A,X,
onde
A=1 & 22 & 4
O que vamos usar:
– Teorema da dimensão (rank–nullity) para transformações lineares.
– Caracterização de ker F por colunas de X em ker A.
– Dimensão de M2( R) é 4.
Passo 2
Analisamos primeiro o operador Acolon R^2to R^2. Como as linhas de A são proporcionais, temos rank(A)=1.
Pela relação de dimensão no espaço R^2,
dimker A + rank(A)=2 Longrightarrow dimker A=2-1=1
Passo 3
Uma matriz Xin M2( R) satisfaz A,X=0 se, e somente se, cada coluna de X pertence a ker A.
Como dimker A=1 e X tem duas colunas independentes, segue
dimker F =dimlX:AX=0r =underbrace1dimker Atimes underbrace2colunas =2
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) aplicado a Fcolon M2to M2,