Determine o maior ângulo das medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo, dado que o maior cateto mede o dobro do cateto menor.
Passo 1
Temos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos
(menor) e
(maior), tais que
. O objetivo é encontrar o ângulo formado pelas duas medianas desenhadas sobre esses catetos. Vamos:
- Calcular o comprimento da hipotenusa.
- Usar a fórmula da mediana em triângulos para achar as duas medianas.
- Determinar as posições do centroide e os comprimentos dos segmentos que unem vértices ao centroide.
- Aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo formado por esses segmentos para obter o ângulo desejado.
Passo 2
A hipotenusa
satisfaz
Passo 3
A mediana à base de comprimento
vale
e a mediana à base de comprimento
vale
Passo 4
As medianas se cruzam no centroide
, que divide cada mediana na razão
contada do vértice. Logo, no triângulo formado pelos vértices
e
(extremidades das medianas) e
, temos
Passo 5
Para encontrar o ângulo
, aplicamos a Lei dos Cossenos em
no vértice
:
Portanto
Resposta
O maior ângulo entre as medianas relativas aos catetos é