Determine o maior ângulo das medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo, dado que o maior cateto mede o dobro do cateto menor.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos x (menor) e y (maior), tais que y=2x. O objetivo é encontrar o ângulo formado pelas duas medianas desenhadas sobre esses catetos. Vamos:
  1. Calcular o comprimento da hipotenusa.
  2. Usar a fórmula da mediana em triângulos para achar as duas medianas.
  3. Determinar as posições do centroide e os comprimentos dos segmentos que unem vértices ao centroide.
  4. Aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo formado por esses segmentos para obter o ângulo desejado.

Passo 2

A hipotenusa c satisfaz
c = raizx^2 + y^2 = raizx^2 + (2x)^2 = raiz5,x

Passo 3

A mediana à base de comprimento x vale
mx = tfrac12raiz2y^2 + 2c^2 - x^2 = tfrac12raiz2(4x^2) + 2(5x^2) - x^2 = tfrac12raiz17,x,
e a mediana à base de comprimento y vale
my = tfrac12raiz2x^2 + 2c^2 - y^2 = tfrac12raiz2x^2 + 2(5x^2) - 4x^2 = raiz2,x

Passo 4

As medianas se cruzam no centroide G, que divide cada mediana na razão 2:1 contada do vértice. Logo, no triângulo formado pelos vértices A e B (extremidades das medianas) e G, temos
AG = tfrac23,mx = tfracraiz173,x, BG = tfrac23,my = tfrac2raiz23,x, AB = c = raiz5,x

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta = ang<= AGB, aplicamos a Lei dos Cossenos em triang<= AGB no vértice G:
costheta = AG^2 + BG^2 - AB^22,(AG)(BG) = tfrac179x^2 + tfrac89x^2 - 5x^2 2cdot tfracraiz173xcdot tfrac2raiz23x = -tfrac209x^2tfrac4raiz349x^2 = -5raiz34
Portanto
theta = arccos!l(-tfrac5raiz34r) approx 149,0^circ

Resposta

O maior ângulo entre as medianas relativas aos catetos é
boxed,arccos!l(-tfrac5raiz34r)approx149,0^circ

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