Mostre que, dada uma transformação linear T: V W, o núcleo N(T) é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se temos uma transformação linear T: V W , o núcleo dessa transformação, chamado de N(T) , é um subespaço vetorial de V . Então, vamos trabalhar com os conceitos de transformação linear, núcleo e subespaço vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo N(T) é o conjunto de todos os vetores v em V que, quando aplicamos a transformação T , resultam no vetor zero em W . Ou seja:
N(T) = v in V mid T(v) = 0

Passo 3

Agora, para mostrar que N(T) é um subespaço vetorial de V , precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em N(T) .
  2. N(T) é fechado sob adição de vetores.
  3. N(T) é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 4

1. O vetor zero está em N(T) :
Sabemos que, para qualquer transformação linear, T(0) = 0 . Então, o vetor zero de V é enviado para o vetor zero de W . Portanto, 0 in N(T) .
T(0) = 0 Rightarrow 0 in N(T)

Passo 5

2. Fechado sob adição:
Precisamos mostrar que se u e v estão em N(T) , então u + v também está em N(T) .
Como u, v in N(T) , temos:
T(u) = 0 e T(v) = 0
Pela propriedade de linearidade de T :
T(u + v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0
Então, u + v in N(T) .

Passo 6

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Precisamos mostrar que se v in N(T) e c é um escalar, então c v também está em N(T) .
Como v in N(T) , temos:
T(v) = 0
Pela propriedade de linearidade de T :
T(c v) = c T(v) = c cdot 0 = 0
Então, c v in N(T) .

Resposta

Como verificamos que o vetor zero está em N(T) , e que N(T) é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que o núcleo N(T) é, de fato, um subespaço vetorial de V .

Exercícios relacionados