Mostre que, dada uma transformação linear
, o núcleo
é um subespaço vetorial de V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se temos uma transformação linear
, o núcleo dessa transformação, chamado de
, é um subespaço vetorial de
. Então, vamos trabalhar com os conceitos de transformação linear, núcleo e subespaço vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo
é o conjunto de todos os vetores
em
que, quando aplicamos a transformação
, resultam no vetor zero em
. Ou seja:
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subespaço vetorial de
, precisamos verificar três coisas:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 4
1. O vetor zero está em
:
Sabemos que, para qualquer transformação linear,
. Então, o vetor zero de
é enviado para o vetor zero de
. Portanto,
.
Passo 5
2. Fechado sob adição:
Precisamos mostrar que se
e
estão em
, então
também está em
.
Como
, temos:
Pela propriedade de linearidade de
:
Então,
.
Passo 6
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Precisamos mostrar que se
e
é um escalar, então
também está em
.
Como
, temos:
Pela propriedade de linearidade de
:
Então,
.
Resposta
Como verificamos que o vetor zero está em
, e que
é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que o núcleo
é, de fato, um subespaço vetorial de
.