Sejam L: V
W e U: V
W transformações lineares. Definimos
para todo
e
para todo
e para algum
real não-nulo.
Mostre que S é uma transformação linear.
Mostre que S é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas transformações lineares,
e
. A gente define uma nova transformação
onde, para qualquer vetor
em
, temos
. Além disso, tem uma outra transformação
, mas por enquanto, nosso foco é mostrar que
também é uma transformação linear.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como podemos verificar se uma função realmente satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação “preserva” a estrutura do espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades. Lembrando que
, e tanto
quanto
são transformações lineares (ou seja, já cumprem as duas propriedades acima).
Primeira propriedade (Adição):
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
em
. Aplicando
na soma deles:
Como
e
são lineares, podemos distribuir:
Reorganizando os termos:
Portanto,
, cumprindo a primeira propriedade.
Passo 4
Segunda propriedade (Multiplicação por escalar):
Vamos pegar um escalar
e um vetor
em
. Aplicando
no vetor escalado:
Novamente, usando a linearidade de
e
, podemos puxar o escalar para fora:
Fatorando o
:
Assim,
, atendendo à segunda propriedade.
Resposta
Com as duas propriedades verificadas, concluímos que
é, de fato, uma transformação linear.