Sejam L: V W e U: V W transformações lineares. Definimos S(v)=L(v)+U(v) para todo v in V e P(v)=b U(v) para todo v in V e para algum b real não-nulo.
Mostre que S é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas transformações lineares, L: V W e U: V W . A gente define uma nova transformação S onde, para qualquer vetor v em V , temos S(v) = L(v) + U(v) . Além disso, tem uma outra transformação P(v) = b cdot U(v) , mas por enquanto, nosso foco é mostrar que S também é uma transformação linear.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como podemos verificar se uma função realmente satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: V W é linear se, para quaisquer vetores u, v em V e qualquer escalar c , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(c cdot v) = c cdot T(v)
Essas propriedades garantem que a transformação “preserva” a estrutura do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se S satisfaz essas duas propriedades. Lembrando que S(v) = L(v) + U(v) , e tanto L quanto U são transformações lineares (ou seja, já cumprem as duas propriedades acima).
Primeira propriedade (Adição):
Vamos considerar dois vetores quaisquer u e v em V . Aplicando S na soma deles:
S(u + v) = L(u + v) + U(u + v)
Como L e U são lineares, podemos distribuir:
= L(u) + L(v) + U(u) + U(v)
Reorganizando os termos:
= [L(u) + U(u)] + [L(v) + U(v)] = S(u) + S(v)
Portanto, S(u + v) = S(u) + S(v) , cumprindo a primeira propriedade.

Passo 4

Segunda propriedade (Multiplicação por escalar):
Vamos pegar um escalar c e um vetor v em V . Aplicando S no vetor escalado:
S(c cdot v) = L(c cdot v) + U(c cdot v)
Novamente, usando a linearidade de L e U , podemos puxar o escalar para fora:
= c cdot L(v) + c cdot U(v)
Fatorando o c :
= c cdot (L(v) + U(v)) = c cdot S(v)
Assim, S(c cdot v) = c cdot S(v) , atendendo à segunda propriedade.

Resposta

Com as duas propriedades verificadas, concluímos que S é, de fato, uma transformação linear.

Exercícios relacionados