Considere a base
de
. Se, escrito na base canônica, o vetor
tem coordenadas
, determine as coordenadas de
na base
, em função de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma base
composta por três vetores no espaço tridimensional
:
E um vetor
que, na base canônica (a base padrão com vetores unitários nas direções x, y e z), tem coordenadas
. A gente precisa descobrir quais são as coordenadas desse mesmo vetor
na base
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de mudança de base, ou seja, expressar um vetor em uma base diferente da canônica. Isso envolve resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que combinados com os vetores da base
resultam no vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar números
tais que:
Isso significa que:
Agora, vamos separar isso em equações para cada componente:
- Para a componente x:
- Para a componente y:
- Para a componente z:
Passo 3
Vamos resolver a terceira equação primeiro, pois ela envolve apenas
:
Agora que já achamos
, vamos focar nas duas primeiras equações para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos chamar a primeira equação de
e a segunda de
:
Para facilitar, podemos dividir ambas as equações por
, que é o mesmo que multiplicar por
:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Dividindo por 2:
Agora, substituímos
na segunda equação para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são: