Considere a base B=(raiz22, raiz22, 0),(-raiz22, raiz22, 0),(0,0,5) de R^3. Se, escrito na base canônica, o vetor v tem coordenadas (x, y, z), determine as coordenadas de v na base B, em função de x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma base B composta por três vetores no espaço tridimensional R^3 :
B = ( raiz22, raiz22, 0 ), ( -raiz22, raiz22, 0 ), (0, 0, 5)
E um vetor v que, na base canônica (a base padrão com vetores unitários nas direções x, y e z), tem coordenadas (x, y, z) . A gente precisa descobrir quais são as coordenadas desse mesmo vetor v na base B .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de mudança de base, ou seja, expressar um vetor em uma base diferente da canônica. Isso envolve resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que combinados com os vetores da base B resultam no vetor v .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor v como uma combinação linear dos vetores da base B . Ou seja, queremos encontrar números c1, c2, c3 tais que:
v = c1 cdot ( raiz22, raiz22, 0 ) + c2 cdot ( -raiz22, raiz22, 0 ) + c3 cdot (0, 0, 5)
Isso significa que:
(x, y, z) = ( c1 cdot raiz22 + c2 cdot (-raiz22), c1 cdot raiz22 + c2 cdot raiz22, c3 cdot 5 )
Agora, vamos separar isso em equações para cada componente:
  1. Para a componente x:
c1 cdot raiz22 - c2 cdot raiz22 = x
  1. Para a componente y:
c1 cdot raiz22 + c2 cdot raiz22 = y
  1. Para a componente z:
c3 cdot 5 = z

Passo 3

Vamos resolver a terceira equação primeiro, pois ela envolve apenas c3 :
c3 cdot 5 = z implies c3 = z5
Agora que já achamos c3 , vamos focar nas duas primeiras equações para encontrar c1 e c2 .

Passo 4

Vamos chamar a primeira equação de E1 e a segunda de E2 :
E1: raiz22 c1 - raiz22 c2 = x
E2: raiz22 c1 + raiz22 c2 = y
Para facilitar, podemos dividir ambas as equações por raiz22 , que é o mesmo que multiplicar por 2raiz2 :
E1: c1 - c2 = 2xraiz2 = x raiz2
E2: c1 + c2 = 2yraiz2 = y raiz2

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
c1 - c2 = x raiz2
c1 + c2 = y raiz2
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
(c1 - c2) + (c1 + c2) = x raiz2 + y raiz2 implies 2c1 = (x + y) raiz2
Dividindo por 2:
c1 = (x + y) raiz22 = x + yraiz2
Agora, substituímos c1 na segunda equação para encontrar c2 :
x + yraiz2 + c2 = y raiz2 implies c2 = y raiz2 - x + yraiz2
Simplificando:
c2 = 2yraiz2 - x + yraiz2 = 2y - x - yraiz2 = y - xraiz2

Resposta

As coordenadas do vetor v na base B são:
( x + yraiz2, y - xraiz2, z5 )

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