Seja
é uma matriz simétrica
tendo 2,3 e 4 como autovalores. É possivel que
e
scjam dois autovetores de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz simétrica
chamada
com autovalores 2, 3 e 4. Quer saber se os vetores
e
podem ser dois autovetores dessa matriz. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas e autovetores, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como
é uma matriz simétrica, sabemos que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Isso quer dizer que, se
e
forem autovetores de
com autovalores diferentes, então eles devem ser perpendiculares.
Passo 3
Vamos verificar se
e
são ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar deles:
Como o produto escalar não é zero (
), os vetores não são ortogonais.
Passo 4
Como
e
não são ortogonais, isso significa que, se ambos forem autovetores de
, eles devem correspondre ao mesmo autovalor. Contudo, no enunciado, os autovalores são 2, 3 e 4, todos distintos.
Passo 5
Portanto, se
e
fossem autovetores de
, eles teriam que ter o mesmo autovalor. Mas como
tem autovalores distintos, isso é impossível.
Resposta
Não, não é possível que
e
sejam dois autovetores de
.