Seja A é uma matriz simétrica 3 times 3 tendo 2,3 e 4 como autovalores. É possivel que v1=(1,1,0) e v2=(0,2,-1) scjam dois autovetores de A?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz simétrica 3 times 3 chamada A com autovalores 2, 3 e 4. Quer saber se os vetores v1 = (1,1,0) e v2 = (0,2,-1) podem ser dois autovetores dessa matriz. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas e autovetores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como A é uma matriz simétrica, sabemos que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Isso quer dizer que, se v1 e v2 forem autovetores de A com autovalores diferentes, então eles devem ser perpendiculares.

Passo 3

Vamos verificar se v1 e v2 são ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar deles:
v1 cdot v2 = (1)(0) + (1)(2) + (0)(-1) = 0 + 2 + 0 = 2
Como o produto escalar não é zero ( 2 neq 0 ), os vetores não são ortogonais.

Passo 4

Como v1 e v2 não são ortogonais, isso significa que, se ambos forem autovetores de A , eles devem correspondre ao mesmo autovalor. Contudo, no enunciado, os autovalores são 2, 3 e 4, todos distintos.

Passo 5

Portanto, se v1 e v2 fossem autovetores de A , eles teriam que ter o mesmo autovalor. Mas como A tem autovalores distintos, isso é impossível.

Resposta

Não, não é possível que v1 = (1,1,0) e v2 = (0,2,-1) sejam dois autovetores de A .

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