Seja A uma matriz simétrica que tem os números 2 e 3 como sens autovalores, sendo que o autovalor 2 tem imultipliciade algébrica igual a 2. Os vetores e sīo Antovetores de tais que e .
Determine a diagonalizção de por matriz ortogonal, isto é, determine as matrizes , diagonal, e , ortogonal, tais que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma matriz simétrica de ordem . Sabemos que ela tem os autovalores 2 e 3, onde o autovalor 2 aparece duas vezes (isso é o que chamamos de multiplicidade algébrica). Além disso, temos dois vetores próprios de : e , ambos associados ao autovalor 2. Nosso objetivo é encontrar a diagonalização de usando uma matriz ortogonal , de modo que , onde é uma matriz diagonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica sempre possui uma diagonalização ortogonal. Isso significa que podemos escrever onde é uma matriz cujas colunas são os vetores próprios ortonormais de , e é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal.
Passo 3
Como já temos dois vetores próprios e associados ao autovalor 2, vamos verificar se eles são ortogonais. Calculando o produto interno:
Como o produto interno não é zero, e não são ortogonais. Portanto, precisamos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter um conjunto de vetores próprios ortogonais.
Passo 4
Vamos aplicar a ortogonalização de Gram-Schmidt nos vetores e .
Primeiro, normalizamos :
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Agora, projetamos sobre e subtraímos para obter o vetor ortogonal:
Subtraindo essa projeção de :
Agora, normalizamos :
Então, o segundo vetor ortonormal é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o terceiro vetor próprio de . Sabemos que a soma dos autovalores é igual à soma dos elementos da diagonal de , mas como já temos dois autovalores (2 com multiplicidade 2 e 3), o terceiro autovalor deve ser 3.
Então, vamos encontrar um vetor próprio associado a . Como é simétrica e os vetores próprios são ortogonais, este terceiro vetor deve ser ortogonal aos dois anteriores e . Podemos encontrar este vetor usando o produto vetorial:
Calculando:
Simplificando:
u3 = 0i - (45 + 15)j + 0k = -55j = -j
Então, u3 = (0, -1, 0) . Vamos normalizar:
|u3| = 1 Rightarrow u3 = (0, -1, 0)
Passo 6
Agora que temos os três vetores ortonormais u1 , u2 e u3 , podemos formar a matriz P colocando-os como colunas: