Seja A uma matriz simétrica 3 times 3 que tem os números 2 e 3 como sens autovalores, sendo que o autovalor 2 tem imultipliciade algébrica igual a 2. Os vetores v1=(2,0,1) e v2=(1,0,2) sīo Antovetores de A tais que A v1=2 v1 e A v2=2 v2.
Determine a diagonalizção de A por matriz ortogonal, isto é, determine as matrizes D, diagonal, e P, ortogonal, tais que A=P D P^T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma matriz simétrica A de ordem 3 times 3 . Sabemos que ela tem os autovalores 2 e 3, onde o autovalor 2 aparece duas vezes (isso é o que chamamos de multiplicidade algébrica). Além disso, temos dois vetores próprios de A : v1 = (2, 0, 1) e v2 = (1, 0, 2) , ambos associados ao autovalor 2. Nosso objetivo é encontrar a diagonalização de A usando uma matriz ortogonal P , de modo que A = P D P^T , onde D é uma matriz diagonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica sempre possui uma diagonalização ortogonal. Isso significa que podemos escrever A = P D P^T onde P é uma matriz cujas colunas são os vetores próprios ortonormais de A , e D é uma matriz diagonal com os autovalores de A na diagonal.

Passo 3

Como já temos dois vetores próprios v1 e v2 associados ao autovalor 2, vamos verificar se eles são ortogonais. Calculando o produto interno:
v1 cdot v2 = (2)(1) + (0)(0) + (1)(2) = 2 + 0 + 2 = 4 neq 0
Como o produto interno não é zero, v1 e v2 não são ortogonais. Portanto, precisamos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter um conjunto de vetores próprios ortogonais.

Passo 4

Vamos aplicar a ortogonalização de Gram-Schmidt nos vetores v1 e v2 .
Primeiro, normalizamos v1 :
|v1| = raiz2^2 + 0^2 + 1^2 = raiz4 + 0 + 1 = raiz5
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
u1 = v1|v1| = ( 2raiz5, 0, 1raiz5 )
Agora, projetamos v2 sobre u1 e subtraímos para obter o vetor ortogonal:
proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 1 cdot 2raiz5 + 0 cdot 0 + 2 cdot 1raiz51 ) u1 = ( 2raiz5 + 2raiz5 ) u1 = 4raiz5 u1
Subtraindo essa projeção de v2 :
w2 = v2 - proju1 v2 = (1, 0, 2) - 4raiz5 ( 2raiz5, 0, 1raiz5 ) = (1 - 85, 0 - 0, 2 - 45) = ( -35, 0, 65 )
Agora, normalizamos w2 :
|w2| = raiz(-35)^2 + 0^2 + (65)^2 = raiz925 + 0 + 3625 = raiz4525 = 3raiz55
Então, o segundo vetor ortonormal é:
u2 = w2|w2| = ( -35 cdot 53raiz5, 0, 65 cdot 53raiz5 ) = ( -1raiz5, 0, 2raiz5 )

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o terceiro vetor próprio de A . Sabemos que a soma dos autovalores é igual à soma dos elementos da diagonal de A , mas como já temos dois autovalores (2 com multiplicidade 2 e 3), o terceiro autovalor deve ser 3.
Então, vamos encontrar um vetor próprio associado a lambda = 3 . Como A é simétrica e os vetores próprios são ortogonais, este terceiro vetor deve ser ortogonal aos dois anteriores u1 e u2 . Podemos encontrar este vetor usando o produto vetorial:
u3 = u1 times u2
Calculando:
u3 = | ccc i & j & k 2raiz5 & 0 & 1raiz5 -1raiz5 & 0 & 2raiz5 | = (0 cdot 2raiz5 - 1raiz5 cdot 0)i - (2raiz5 cdot 2raiz5 - 1raiz5 cdot (-1raiz5))j + (2raiz5 cdot 0 - 0 cdot (-1raiz5))k
Simplificando:
u3 = 0i - (45 + 15)j + 0k = -55j = -j
Então, u3 = (0, -1, 0) . Vamos normalizar:
|u3| = 1 Rightarrow u3 = (0, -1, 0)

Passo 6

Agora que temos os três vetores ortonormais u1 , u2 e u3 , podemos formar a matriz P colocando-os como colunas:
P = 2raiz5 & -1raiz5 & 0 0 & 0 & -1 1raiz5 & 2raiz5 & 0
E a matriz diagonal D será formada pelos autovalores correspondentes:
D = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

A diagonalização ortogonal de A é dada por
A = P D P^T
onde
P = 2raiz5 & -1raiz5 & 0 0 & 0 & -1 1raiz5 & 2raiz5 & 0 e D = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

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