Seja A uma matriz simétrica que tem os números 2 e 3 como sens autovalores, sendo que o autovalor 2 tem imultipliciade algébrica igual a 2. Os vetores e sīo Antovetores de tais que e .
Determine uma base ortonormal de formada por autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica chamada . Sabemos que ela tem dois autovalores: 2 e 3. O autovalor 2 aparece duas vezes (isso é a multiplicidade algébrica). Também nos deram dois vetores e que são autovetores associados ao autovalor 2, ou seja, e .
O que precisamos fazer é encontrar uma base ortonormal de formada por autovetores de . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e propriedades de matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar os vetores e para que eles tenham comprimento 1. A normalização de um vetor é dada por:
Onde é a norma (ou comprimento) do vetor, calculada por:
Vamos calcular a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Agora, vamos normalizar :
Então, o vetor normalizado é:
Passo 3
Agora, precisamos garantir que os vetores e sejam ortogonais, ou seja, que o produto interno entre eles seja zero. O produto interno de dois vetores e é:
Vamos calcular :
Como o produto não é zero, os vetores não são ortogonais. Porém, como é uma matriz simétrica, sabemos que podemos encontrar autovetores ortogonais. Para isso, vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
Vamos ajustar para que seja ortogonal a :
Calculando:
Simplificando:
Agora, vamos normalizar :
Então, o vetor ortonormalizado é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o terceiro autovetor associado ao autovalor 3. Como [A) é uma matriz simétrica, sabemos que o autovetor correspondente ao autovalor 3 será ortogonal aos autovetores associados ao autovalor 2.
Vamos chamar esse autovetor de . Para encontrá-lo, precisamos resolver a equação . Porém, como não temos a matriz explícita, podemos usar a ortogonalidade para encontrar .
Sabemos que deve ser ortogonal a e . Vamos montar um sistema de equações para isso:
Substituindo :
Simplificando, multiplicando ambas as equações por (\sqrt{5}]:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, . Isso significa que pode ser qualquer valor. Podemos escolher para facilitar. Assim, .
Vamos agora normalizar :
Então, o vetor normalizado é .
Resposta
A base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A é: