Seja A uma matriz simétrica 3 times 3 que tem os números 2 e 3 como sens autovalores, sendo que o autovalor 2 tem imultipliciade algébrica igual a 2. Os vetores v1=(2,0,1) e v2=(1,0,2) sīo Antovetores de A tais que A v1=2 v1 e A v2=2 v2.
Determine uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica 3 times 3 chamada A . Sabemos que ela tem dois autovalores: 2 e 3. O autovalor 2 aparece duas vezes (isso é a multiplicidade algébrica). Também nos deram dois vetores v1 = (2, 0, 1) e v2 = (1, 0, 2) que são autovetores associados ao autovalor 2, ou seja, A v1 = 2 v1 e A v2 = 2 v2 .
O que precisamos fazer é encontrar uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e propriedades de matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar os vetores v1 e v2 para que eles tenham comprimento 1. A normalização de um vetor v é dada por:
v = v|v|
Onde |v| é a norma (ou comprimento) do vetor, calculada por:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Vamos calcular a norma de v1 :
|v1| = raiz2^2 + 0^2 + 1^2 = raiz4 + 0 + 1 = raiz5
Então, o vetor normalizado v1 é:
v1 = 1raiz5 (2, 0, 1) = ( 2raiz5, 0, 1raiz5 )
Agora, vamos normalizar v2 :
|v2| = raiz1^2 + 0^2 + 2^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5
Então, o vetor normalizado v2 é:
v2 = 1raiz5 (1, 0, 2) = ( 1raiz5, 0, 2raiz5 )

Passo 3

Agora, precisamos garantir que os vetores v1 e v2 sejam ortogonais, ou seja, que o produto interno entre eles seja zero. O produto interno de dois vetores u e v é:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Vamos calcular v1 cdot v2 :
v1 cdot v2 = ( 2raiz5 ) ( 1raiz5 ) + 0 cdot 0 + ( 1raiz5 ) ( 2raiz5 ) = 25 + 0 + 25 = 45
Como o produto não é zero, os vetores não são ortogonais. Porém, como A é uma matriz simétrica, sabemos que podemos encontrar autovetores ortogonais. Para isso, vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
Vamos ajustar v2 para que seja ortogonal a v1 :
v2' = v2 - (v1 cdot v2) v1 = v2 - ( 45 ) v1
Calculando:
v2' = ( 1raiz5, 0, 2raiz5 ) - 45 ( 2raiz5, 0, 1raiz5 ) = ( 1raiz5 - 85 raiz5, 0, 2raiz5 - 45 raiz5 )
Simplificando:
v2' = ( 5 - 85 raiz5, 0, 10 - 45 raiz5 ) = ( -35 raiz5, 0, 65 raiz5 )
Agora, vamos normalizar v2' :
|v2'| = raiz( -35 raiz5 )^2 + 0^2 + ( 65 raiz5 )^2 = raiz 925 cdot 5 + 3625 cdot 5 = raiz 45125 = raiz 925 = 35
Então, o vetor ortonormalizado v2'' é:
v2'' = 135 ( -35 raiz5, 0, 65 raiz5 ) = ( -35 raiz5 cdot 53, 0, 65 raiz5 cdot 53 ) = ( -1raiz5, 0, 2raiz5 )

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o terceiro autovetor associado ao autovalor 3. Como [A) é uma matriz simétrica, sabemos que o autovetor correspondente ao autovalor 3 será ortogonal aos autovetores associados ao autovalor 2.
Vamos chamar esse autovetor de . Para encontrá-lo, precisamos resolver a equação . Porém, como não temos a matriz explícita, podemos usar a ortogonalidade para encontrar .
Sabemos que deve ser ortogonal a e . Vamos montar um sistema de equações para isso:
Substituindo :
Simplificando, multiplicando ambas as equações por (\sqrt{5}]:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, . Isso significa que pode ser qualquer valor. Podemos escolher para facilitar. Assim, .
Vamos agora normalizar :
Então, o vetor normalizado é .

Resposta

A base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A é:
( 2raiz5, 0, 1raiz5 ), ( -1raiz5, 0, 2raiz5 ), (0, 1, 0)

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