Prove que para quaisquer que sejam os conjuntos
e
, tem-se:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade distributiva da interseção em relação à união, ou seja, que para quaisquer conjuntos
,
e
vale
O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos, usando prova por elemento e mostrando duas inclusões de conjuntos.
Passo 2
Prova de
. Seja
um elemento qualquer tal que
Pelo significado de interseção e união, isso implica:
-
, e -
, ou seja, ou .
Se
, então
e
, logo
.
Se , então
e
, logo
.
Em qualquer dos casos, pertence a
. Isso prova a primeira inclusão.
Se
Em qualquer dos casos,
Passo 3
Prova de
. Seja
tal que
Então ou
-
, o que dá e ; ou -
, o que dá e .
Em ambos os casos temos
e
. Portanto
. Isso estabelece a segunda inclusão.
Resposta
Como mostramos ambas as inclusões, concluímos que