Prove que para quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se:
A cap(B cup C)=(A cap B) cup(A cap C);

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade distributiva da interseção em relação à união, ou seja, que para quaisquer conjuntos A, B e C vale
A cap (B cup C) ;=;(A cap B),cup,(A cap C)
O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos, usando prova por elemento e mostrando duas inclusões de conjuntos.

Passo 2

Prova de A cap (B cup C)subseteq (A cap B)cup(A cap C). Seja x um elemento qualquer tal que
xin Acap(Bcup C)
Pelo significado de interseção e união, isso implica:
  • xin A, e
  • xin Bcup C, ou seja, xin B ou xin C.
Se xin B, então xin A e xin B, logo xin Acap B.
Se xin C, então xin A e xin C, logo xin Acap C.
Em qualquer dos casos, x pertence a (Acap B)cup(Acap C). Isso prova a primeira inclusão.

Passo 3

Prova de (A cap B)cup(A cap C)subseteq A cap (B cup C). Seja x tal que
xin(Acap B)cup(Acap C)
Então ou
  • xin Acap B, o que dá xin A e xin B; ou
  • xin Acap C, o que dá xin A e xin C.
Em ambos os casos temos xin A e xin Bcup C. Portanto xin Acap(Bcup C). Isso estabelece a segunda inclusão.

Resposta

Como mostramos ambas as inclusões, concluímos que
A cap (B cup C) ;=; (A cap B),cup,(A cap C)

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