Considere a base do R^3 formada pelos vetores (1,1,0),(1,-1,0) e (1,1,1). A partir dela calcule:
(b) Uma base ortonormal e denote ela por B2;

Passo 1

O enunciado dá uma base do R^3 formada pelos vetores
,v1=(1,1,0), ,v2=(1,-1,0) e ,v3=(1,1,1)
e pede para construir uma base ortonormal B2.
O método padrão é o processo de Gram–Schmidt, seguido de normalização.

Passo 2

Começamos com v1. Definimos
u1 = v1 = (1,1,0)
A norma de u1 é
|u1| = raiz1^2+1^2+0^2 = raiz2
Logo o primeiro vetor unitário é
e1 = u1|u1| = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r)

Passo 3

Agora ortogonalizamos v2 em relação a e1. Calculamos o coeficiente
lang<= v2,e1rang<= = (1,-1,0)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r) = 1-1raiz2=0
Logo
u2 = v2 - 0cdot e1 = (1,-1,0)
Sua norma é |u2|=raiz1^2+(-1)^2+0^2=raiz2, e o vetor unitário é
e2 = u2|u2| = l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2,,0r)

Passo 4

Finalmente ortogonalizamos v3 em relação a e1 e e2.
Primeiro
lang<= v3,e1rang<= = (1,1,1)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r) = 2raiz2=raiz2,
lang<= v3,e2rang<= = (1,1,1)cdotl(tfrac1raiz2,-,tfrac1raiz2,0r) = 1-1raiz2=0
Então
u3 = v3 - raiz2,e1 - 0cdot e2 = (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1)
A norma é |u3|=1, e portanto
e3 = u3 = (0,0,1)

Resposta

A base ortonormal B2 é
B2=ll(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r),;l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r),;(0,0,1)r

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