Determinar M in M3(R), inversível, tal que M^-1 AM seja diagonal onde
A=(rrr 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 )

Passo 1

Resumindo: queremos uma matriz invertível Min M3(R) tal que
M^-1AM
seja diagonal. Isso significa diagonalizar A, ou seja, encontrar três autovalores distintos de A e três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A, que é det(A-lambda I)=0. Primeiro escrevemos
A - lambda I = 2-lambda & 0 & 4 3 & -4-lambda & 12 1 & -2 & 5-lambda
e então
det(A-lambda I) =(2-lambda)det!-4-lambda & 12 -2 & 5-lambda +4det!3 & -4-lambda 1 & -2

Passo 3

Calculando cada determinante:
det-4-lambda & 12 -2 & 5-lambda =(-4-lambda)(5-lambda)-12(-2) =lambda^2-lambda+4,
det3 & -4-lambda 1 & -2 =3(-2)-1(-4-lambda)=lambda-2
Logo
det(A-lambda I) =(2-lambda)(lambda^2-lambda+4)+4(lambda-2) =-lambda(lambda-1)(lambda-2)
Portanto os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2,
todos distintos, logo A é diagonalizável.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada lambdai:
  1. lambda1=0: resolvemos Av=0. O sistema dá x=-2z, y=tfrac32z. Tomando z=2 escolhemos
v1 = -432
  1. lambda2=1: resolvemos (A-I)v=0. Obtemos x=-4z, y=0. Tomando z=1 ficamos com
v2 = -401
  1. lambda3=2: resolvemos (A-2I)v=0. Dali z=0, x=2y. Tomando y=1 escolhemos
v3 = 210

Passo 5

Como os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes, montamos
M = l[v1;;v2;;v3r] = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0
Por construção, M^-1AM=diag(0,1,2).

Resposta

Uma solução é
M= -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 ,
pois então
M^-1AM=0&0&00&1&00&0&2

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