Determinar
, inversível, tal que
seja diagonal onde
Passo 1
Resumindo: queremos uma matriz invertível
Min M3(R) tal que
seja diagonal. Isso significa diagonalizar
A , ou seja, encontrar três autovalores distintos de
A e três autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de
A , que é
det(A-lambda I)=0 . Primeiro escrevemos
e então
Passo 3
Calculando cada determinante:
Logo
Portanto os autovalores são
todos distintos, logo
A é diagonalizável.
Passo 4
Agora achamos um autovetor para cada
lambdai :
-
: resolvemoslambda1=0 . O sistema dáAv=0 ,x=-2z . Tomandoy=tfrac32z escolhemosz=2
-
: resolvemoslambda2=1 . Obtemos(A-I)v=0 ,x=-4z . Tomandoy=0 ficamos comz=1
-
: resolvemoslambda3=2 . Dali(A-2I)v=0 ,z=0 . Tomandox=2y escolhemosy=1
Passo 5
Como os vetores
v1,v2,v3 são linearmente independentes, montamos
Por construção,
M^-1AM=diag(0,1,2) .
Resposta
Uma solução é
pois então