Considere a base do R^3 formada pelos vetores (1,1,0),(1,-1,0) e (1,1,1). A partir dela calcule:
(a) Uma base ortogonal e denote ela por B1;

Passo 1

O enunciado nos dá a base v1,v2,v3subset R^3 com
v1=(1,1,0), v2=(1,-1,0), v3=(1,1,1)
e pede uma base ortogonal B1. Para isso vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que gera vetores ortogonais u1,u2,u3.

Passo 2

Escolhemos
u1 = v1 = (1,1,0)

Passo 3

Definimos
u2 = v2 - lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Calculando os produtos internos,
lang<= v2,u1rang<= = 1cdot1 + (-1)cdot1 + 0cdot0 = 0, lang<= u1,u1rang<= = 1^2+1^2+0^2 = 2
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u2 = v2 - 0cdot u1 = v2 = (1,-1,0)

Passo 4

Agora
u3 = v3 - lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 - lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2
Calculamos
lang<= v3,u1rang<= = 1cdot1+1cdot1+1cdot0 = 2, lang<= u2,u2rang<= = 1^2+(-1)^2+0^2 = 2,
lang<= v3,u2rang<= = 1cdot1 +1cdot(-1)+1cdot0 = 0
Então
u3 = (1,1,1) - 22(1,1,0) - 0cdot(1,-1,0) = (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1)

Resposta

Uma base ortogonal é
B1 = ,u1,u2,u3 = (1,1,0),,(1,-1,0),,(0,0,1)

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