Considere a base do R^3 formada pelos vetores (1,1,0),(1,-1,0) e (1,1,1). A partir dela calcule:
(c) Encontre as coordenadas do vetor (1,2,-1) relativamente a base B1;

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor (1,2,-1) como combinação linear dos vetores da base
B1=(1,1,0),,(1,-1,0),,(1,1,1)
Isso é um problema de mudança de base em R^3: vamos achar escalares alpha,beta,gamma tais que
(1,2,-1)=alpha,(1,1,0)+beta,(1,-1,0)+gamma,(1,1,1)

Passo 2

Escrevendo a combinação em forma de sistema, obtemos
alpha+beta+gamma =1, alpha-beta+gamma =2, 0alpha+0beta+1gamma =-1

Passo 3

Da terceira equação segue diretamente
gamma = -1

Passo 4

Substituindo gamma=-1 nas duas primeiras equações:
alpha+beta-1=1Rightarrow alpha+beta=2,
alpha-beta-1=2Rightarrow alpha-beta=3
Somando e subtraindo, vem
2alpha=5Rightarrow alpha=tfrac52,
beta=2-alpha=2-tfrac52=-tfrac12

Passo 5

Portanto as coordenadas de (1,2,-1) na base B1 são
l(alpha,beta,gammar) =l(tfrac52,,-tfrac12,,-1r)

Resposta

[,(1,2,-1)]B1=l(tfrac52,,-tfrac12,,-1r)

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