Considere a matriz M=(cccc1 & 2 & -1 & 2 0 & 0 & lambda & -1 0 & 1 & 2 & 0 1 & 2 & 0 & 1).
Mostre que uma matriz A é invertível se e somente se A^T é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer matriz A, vale a equivalência
A é invertível Long<=ftrightarrow A^T é invertível éíéí
O conteúdo-chave é a definição de matriz inversa e a propriedade da transposição de produto.

Passo 2

Suponha que A seja invertível e seja A^-1 sua inversa, isto é,
A,A^-1=A^-1A=I
Transpondo essas igualdades e usando l(XYr)^T=Y^T X^T e I^T=I, obtemos
(A,A^-1)^T=(A^-1)^T A^T=I
e
(A^-1A)^T=A^T (A^-1)^T=I
Portanto (A^-1)^T é inversa de A^T e concluímos que A^T é invertível.

Passo 3

Para a recíproca, aplicamos o mesmo argumento a A^T. Se A^T é invertível então (A^T)^T também é invertível pelo passo anterior. Mas (A^T)^T=A, logo A é invertível.

Resposta

Mostramos que (A^-1)^T é inversa de A^T e que (A^T)^T=A, provando que A é invertível se e somente se A^T é invertível.

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