Considere a reta r:(x, y, z)=t(1,1,1). Sejam B=E1, E2, E3 a base canônica do R^3 e C=U1, U2, U3 a base ortonormal de R^3 definida por U1=1 / raiz3(1,1,1), U2=1 / raiz2(-1,1,0) e U3=1 / raiz6(-1,-1,2).
Seja Pr: R^3 R^3 a projeção ortogonal na reta r. Encontre [Pr]C^C e[Pr]B^B.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal
Pr:R^3toR^3
na reta r de direção (1,1,1). Temos duas bases: a canônica B=E1,E2,E3 e a ortonormal
C=U1,U2,U3 com
U1=1raiz3(1,1,1), U2=1raiz2(-1,1,0), U3=1raiz6(-1,-1,2)
Queremos as matrizes de Pr em cada base: [Pr]C^C e [Pr]B^B.

Passo 2

Para projetar ortogonalmente em uma reta gerada por um vetor unitário u, vale a fórmula
P(v)=(ucdot v),u,
ou seja, a matriz de P em qualquer base ortonormal que comece com u é
1&0&0 0&0&0 0&0&0

Passo 3

Como C é ortonormal e U1 é exatamente o vetor de direção unitário de r, temos
[Pr]C^C = 1&0&0 0&0&0 0&0&0

Passo 4

Na base canônica B usamos U1=(1,1,1)/raiz3. Então
[Pr]B^B =U1,U1^T =13 111 1&1&1 =13 1&1&1 1&1&1 1&1&1

Resposta

[Pr]C^C = 1&0&0 0&0&0 0&0&0 , [Pr]B^B =13 1&1&1 1&1&1 1&1&1

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