Considere a base 𝛽={(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3)} onde 𝛼 é a base canônica do ℝ3 .
Determine [(1,2,3)]𝛽 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear. A gente tem uma base beta = (1,2,0), (1,3,2), (0,1,3) e queremos descobrir as coordenadas do vetor (1,2,3) nessa base. Para isso, vamos precisar entender como mudar a base de coordenadas, ou seja, como expressar um vetor em termos de uma base diferente da base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma base diferente. A base canônica alpha do R^3 é alpha = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Queremos encontrar os coeficientes c1, c2 e c3 tais que:
(1,2,3) = c1(1,2,0) + c2(1,3,2) + c3(0,1,3)

Passo 3

Agora, vamos escrever isso de forma mais clara, separando as componentes:
1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 2 = c1 cdot 2 + c2 cdot 3 + c3 cdot 1 3 = c1 cdot 0 + c2 cdot 2 + c3 cdot 3
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 4

Vamos simplificar o sistema:
c1 + c2 = 1 (Equação 1) 2c1 + 3c2 + c3 = 2 (Equação 2) 2c2 + 3c3 = 3 (Equação 3) çãçãçã

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da Equação 1, podemos expressar c1 em função de c2:
c1 = 1 - c2

Passo 6

Substituímos c1 = 1 - c2 na Equação 2:
2(1 - c2) + 3c2 + c3 = 2 2 - 2c2 + 3c2 + c3 = 2 2 + c2 + c3 = 2 c2 + c3 = 0 (Equação 4) çã

Passo 7

Agora, temos a Equação 3 e a Equação 4:
2c2 + 3c3 = 3 (Equação 3) c2 + c3 = 0 (Equação 4) çãçã
Da Equação 4, podemos expressar c2 em função de c3:
c2 = -c3

Passo 8

Substituímos c2 = -c3 na Equação 3:
2(-c3) + 3c3 = 3 -2c3 + 3c3 = 3 c3 = 3

Passo 9

Agora que temos c3 = 3, podemos encontrar c2 usando c2 = -c3:
c2 = -3
E usando c1 = 1 - c2:
c1 = 1 - (-3) = 4

Resposta

Então, as coordenadas do vetor (1,2,3) na base beta são [4, -3, 3]beta.

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